27.2.3.1 相似三角形应用举例（第1课时）（教学课件）-【梓耕教育】初中九年级下册数学同步教学（人教版）

数学 9年级/全 人教 第二十七章 相似 学习新知 检测反馈 21.2.3 相似三角形应用举例（第1课时） 学 习 新 知 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”.塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，边长约为230米.据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间.原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化吹蚀，所以高度有所降低. 　 在古希腊，有一位伟大的数学家叫泰勒斯.一天，希腊国王阿马西斯对他说:“听说你什么都知道，那就请你测量一下埃及金字塔的高度吧!”这在当时条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的.你知道泰勒斯是怎样测量大金字塔的高度的吗? 问题思考 测量旗杆的高度 【思考】 　(1)在同一时刻，物体的高度和影长有什么关系? (2)在操场上竖立一根长1米的标杆，画出同一时刻旗杆和木杆的影长. (太阳光线看作是平行的) (3)通过测量影子的长度，你能得到旗杆的高度吗? 解:如图所示，测得同一时刻旗杆的影长AB=a，标杆的影长为EF=b. 由题意可得∠B=∠F=90°，AC∥DE， 　∴∠A=∠E，∴△ABC∽△EFD， 【归纳】　在平行光线的照射下，同一时刻，两个物体的高度与影长成比例. 用三角形相似可以求旗杆的高度，常用的方法有: (1)如图所示，同一时刻物高与影长构成直角三角形. A B C D F E A B C D E (2)如图所示，利用平面镜构造直角三角形. A B C D E (3)如图所示，观察者视线与标杆顶端、旗杆顶端在同一条直线上. F H (教材例4)据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形，来测量金字塔的高度. 　如图所示，木杆EF长2 m，它的影长FD为3 m，测得OA为 201 m，求金字塔的高度BO. 思考： (1)太阳光线与物体及其影子组成的两个三角形相似吗? (由太阳光线平行得∠BAO=∠EDF， 又∠AOB=∠DFE=90°，得三角形相似) 　(2)如何求OA的长? (金字塔的影子是等腰三角形，则OA等于这个等腰三角形的高与金字塔底面边长一半的和) 解:太阳光线是平行光线， 　因此∠BAO=∠EDF. 又∠AOB=∠DFE=90°， 　∴△ABO∽△DEF. 因此金字塔的高度为134 m. （m）. (教材例5)如图所示，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S共线且直线PS与河岸垂直，接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.已知测得QS=45 m，ST=90 m，QR=60 m，请根据这些数据求河宽PQ. (3)能不能用方程思想解出PQ的值? ( ，即PQ×90=(PQ+45)×60，可解得PQ的值) 〔解析〕(1)图中的两个三角形是不是相似三角形? (由∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P可得△PQR∽△PST) (2)根据相似三角形的基本性质能不能得到关于河宽PQ的比例线段? 解:∵∠PQR=∠PST=90°，∠P=∠P， 　∴△PQR∽△PST. ∴ ， 即 ， ， PQ×90=(PQ+45)×60. 解得PQ=90(m). 因此，河宽大约为90 m. [知识拓展]　利用相似三角形进行测量的一般步骤:①利用平行线、标杆等构成相似三角形;②测量与表示未知量的线段相对应的线段的长，以及另外任意一组对应边的长度;③画出示意图，利用相似三角形的性质，列出以上包括未知量在内的四个量的比例式，解出未知量;④检验并得出答案. 检测反馈 1.小明在测量楼高时，先测出楼房落在地面上的影长BA为15米，如图所示，然后在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为　　(　　) 　A.10米　　B.12米 　C.15米　　D.22.5米 解析:在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似. 因此= ，即 ，∴楼高=10(米). A 2.如图所示的是一束平行的光线从教室窗户射入教室的平面示意图，测得光线与地面所成的角∠AMC=30°，窗户的高在教室地面上的影长MN=2 米，窗户底部到教室地面的距离BC=1米(点M，N，C在同一直线上)，则窗户的高度AB为　　(　　) 　A. 米　　B.3米　　C.2米　　D.1.5米 解析:∵BN∥AM，∴∠AMC=∠BNC=30°，又