专题15 解直角三角形中的母抱子模型-2023年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国通用）

专题15 解直角三角形中的母抱子模型 【模型展示】 特点 通过在三角形外作高AC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△ADC中，AC为公共边，DC+BD=BC. 结论 “母包子”型的关键是找到两个直角三角形外的公共高 【题型演练】 一、单选题 1．如图，胡同左右两侧是竖直的墙，一架米长的梯子BC斜靠在右侧墙壁上，测得梯子与地面的夹角为45°，此时梯子顶端B恰巧与墙壁顶端重合．因梯子阻碍交通，故将梯子底端向右移动一段距离到达D处，此时测得梯子AD与地面的夹角为60°，则胡同左侧的通道拓宽了（    ） A．米 B．3米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质分别求出EC、EB，根据正切的定义求出DE，结合图形计算得到答案． 【详解】解：在中，， （米， 在中，， （米， 米， 故选：D． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 2．如图，在点F处，看建筑物顶端D的仰角为32°，向前走了15米到达点E即米，在点E处看点D的仰角为64°，则的长用三角函数表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题目条件，利用外角的性质，得出△DEF是等腰三角形，在Rt△DEC中，利用∠DEC的正弦即可表示出CD的长度． 【详解】∵∠F=32°，∠DEC=64°， ∴∠DEF=, ∴, 由题可知，△DCE为直角三角形， 在Rt△DEC中， 即： , ∴, 故选：C 【点睛】本题考查三角形的外角，等腰三角形的性质，解直角三角形的运算，解题关键是利用三角形的外角得出等腰三角形． 3．一天，小战和同学们一起到操场测量学校旗杆高度，他们首先在斜坡底部C地测得旗杆顶部A的仰角为45°，然后上到斜坡顶部D点处再测得旗杆顶部A点仰角为37°（身高忽略不计）．已知斜坡CD坡度i=1：2.4，坡长为2.6米，旗杆AB所在旗台高度EF为1.4米，旗台底部、台阶底部、操场在同一水平面上．则请问旗杆自身高度AB为（　　）米． （参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75） A．10.2 B．9.8 C．11.2 D．10.8 【答案】B 【分析】如图，作交的延长线于，延长交的延长线于，作于．设，在中，根据，