专题14 解直角三角形中的背靠背模型-2023年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国通用）

专题14 解直角三角形中的背靠背模型 【模型展示】 特点 通过在三角形内作高AC，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AC是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCA中，AC为公共边，DC+CB=DB. 结论 “背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高 【题型演练】 一、单选题 1．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是(　　) A．海里 B．海里 C．120海里 D．60海里 【答案】B 【分析】过点C作CD⊥AB于点D，先解Rt△ACD，求出AD，CD，再根据BD=CD，即可解出AB． 【详解】如图，过点C作CD⊥AB于点D， 则∠ACD=30°，∠BCD=45°， 在Rt△ACD中，AD=CA=×60=30（海里）， CD=CA·cos∠ACD=60×=（海里）， ∵∠BCD=45°，∠BDC=90°， ∴在Rt△BCD中，BD=CD， ∴AB=AD+BD=AD+CD=（30+）海里， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角形的问题，解题的关键是作高线． 2．如图所示，从一热气球的探测器A点，看一栋高楼顶部B点的仰角为30°，看这栋高楼底部C点的俯角为60°，若热气球与高楼的水平距离为30m，则这栋高楼高度是（　　） A．60m B．40m C．30m D．60m 【答案】B 【分析】作AD⊥BC于D，由俯仰角得出∠ADB、∠CAD的值，则由AD的长及俯仰角的正切值得出BD、CD的长，BC的长即可求出． 【详解】过A作AD⊥BC，垂足为D在Rt△ABD中，∵∠BAD＝30°，AD＝30m， ∴BD＝AD•tan30°＝3010（m），在Rt△ACD中，∵∠CAD＝60°，AD＝30m， ∴CD＝AD•tan60°＝3030（m），∴BC＝BD+CD＝103040（m）， 即这栋高楼高度是40m． 故选择：B． 【点睛】本题考查俯角与仰角的定义，要求学生能借助俯角与仰角构造直角三角形并会解直角三角形． 二、填空题 3．如图，海中有个小岛A，一艘轮船由西向东航行，在点B处测得小岛A位于它的东北方向，此时轮船与小岛相距20海里，继续航行至点D处，测得小岛A在