6.3.1 & 6.3.2 直线的方向向量与平面的法向量空间线面关系的判定（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6．3.1 & 6.3.2 直线的方向向量与平面的法向量空间线面关系的判定 (一)直线的方向向量与平面的法向量 1．直线的方向向量 直线l上的向量e(e≠0)以及 ． 2．平面的法向量 (1)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称_________________，记作 .此时，我们把向量n叫作平面α的 ． (2)与平面 的直线叫作平面的法线．因此，平面的法向量就是___________的方向向量． 与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量 向量n垂直于平面α n⊥α 法向量 垂直 平面的法线 2．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的法向量的是 (　 ) A．(0，－3,1) B．(2,0,1) C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1) 解析：问题即求与n共线的一个向量．即n＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)． 答案：D　 (二)空间中直线、平面的平行 1．直线与直线平行 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m⇔a∥b⇔a＝λb⇔ (λ∈R)． 2．直线与平面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔ ⇔ ＝0⇔ . 3．平面与平面平行 设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)．则α∥β⇔______⇔ ⇔ (λ∈R)． a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2 a⊥u a·u a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 u∥v u＝λv a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2 (三)空间中直线、平面的垂直 1．直线与直线垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，a2，a3)，直线m的方向向量为b＝(b1，b2，b3)，则l⊥m⇔ ⇔ ⇔ . 2．直线与平面垂直 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l⊥α⇔ ⇔ ⇔ ，k∈R. 3．平面与平面垂直 设平面α的法向量为u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β⇔ ⇔ ⇔ . a⊥b a·b＝0 a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 a∥u a＝ku a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2 u⊥v u·v＝0 a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 2．已知两平面α，β的一个法向量分别为u1＝(1,0,1)，u2＝(0,2,0)，则平面α，β的位置关系为________． 答案：垂直 [对点训练] 在△ABC中，A(1，－1,2)，B(3,3,1)，C(3,1,3)，设M(x，y，z)是平面ABC内任意一点． (1)求平面ABC的一个法向量； (2)求x，y，z满足的关系式． 1．利用向量法证明线面平行的三种思路 (1)设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是u，则要证明l∥α，只需证明a⊥u，即a·u＝0. (2)根据线面平行的判定定理“若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行”，要证明一条直线和一个平面平行，只需在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可． (3)根据共面向量定理可知，如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共线的向量确定的平面必定平行，因此要证明一条直线和一个平面平行，只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可． 2．用向量证明面面平行的方法 设平面α的法向量为μ，平面β的法向量为v，则α∥β⇔μ∥v.　　 2.如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝4，AD＝5，求证：平面A1BD∥平面B1D1C. 1．利用坐标法证明线面垂直的方法