6.3.1&6.3.2直线的方向向量与平面的法向量与空间线面关系的判定-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）

6.3.1直线的方向向量与平面的法向量 6.3.2空间线面关系的判定 目标导航 课程标准 重难点 1.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念与求法. 2.理解用向量法判定空间直线与 平面的位置关系. 重点：空间中直线、平面的平行和垂直. 难点：理解直线、平面的向量表示. 知识精讲 知识点01 直线的方向向量 定义：直线l上的向量e（e≠0）以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量. 注意点： （1） 空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件： ①是非零向量； ②向量所在的直线与l平行或重合. （2） 与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个. 【即学即练1】若点，在直线l上，则直线l的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【即学即练2】已知两点，，直线的方向向量为，则（    ） A．1 B．－1 C．－2 D．2 知识点02 平面的法向量 1.平面的法线 与平面垂直的直线叫作平面的法线。 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向来刻画平面的“方向”。 2.平面的法向量：如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α，此时，我们把向量n叫作平面α的法向量. 注意： （1） 平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量. （2）一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行. 【即学即练3】已知为直线l的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：①；②；③；④.其中正确的有（    ）. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【即学即练4】以下真命题共有___________个. ①一个平面的单位法向量是唯一的； ②一条直线的方向向量和一个平面的法向量垂直，则这条直线和这个平面平行； ③若两个平面的法向量不平行，则这两个平面相交. 知识点03 平面方程的表示 1．在空间直角坐标系中，平面可以用关于x，y，z的三元一次方程来表示. 2.经过点P（x0， y0， z0），且平面α的法向量为n=（A，B， C）的平面方程为A（x-x0)＋B(y-y0)+C(z-z0)=0. 求平面方程的两种方法 （1）法向量法：利用法向量与平面内的任意向量垂直，即=0求解，其中n为平面的法向量，为平面内的任意向量. （2）待定系数法：设所求平面方程为Ax＋By＋Cz＋D=0，然后代入相关点解方程即可. 【即学即练5】已知平面内有一点，平面的一个法向量为，则下列四个点中在平面内的是（    ） A． B． C． D． 【即学即练6】（多选）在空间直角坐标系中，已知向量（其中），定点，异于点的动点，则以下说法正确的是（    ） A．若为直线的方向向量，则 B．若为直线的方向向量，则 C．若为平面的法向量，面经过和P，则 D．若为平面的法向量，面经过和P，则 知识点04 空间线面平行和垂直关系的向量表示 1.设空间两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，两个平面α1，α2的法向量分别为n1， n2， 则有下表： 平行 垂直 l1与l2 e1//e2 e1⊥e2 l1与α1 e1⊥n1 e1//n1 α1与α2 n1//n2 n1⊥n2 2.空间中直线、平面的平行 ⑴直线与直线平行 设直线l，m的方向向量分别为a=（a1，b1，c1），b=（a2，b2，c 2），则l//ma//ba1=a2,b1=b2,c1=c2(a∈R). ⑵直线与平面平行 设直线l的方向向量为a=（a1，b1，c1），平面α的法向量为u=（a2，b2，c 2），则l//αa⊥ua1a2+b1b2+c1c2=0. ⑶平面与平面平行 设平面α，β的法向量分别为u=（a1，b1，c1）, v=（a2，b2，c 2），则α//βu//va1=a2,b1=b2,c1=c2(a∈R). 3. 空间中直线、平面的垂直 ⑴直线与直线垂直 设直线l的方向向量为a=（a1，a2，a3），直线m的方向向量为b=（b1，b2，b3），则l⊥ma⊥bab=0a1b1+a2b2+a3b3=0. ⑵直线与平面垂直 设直线l的方向向量为a=（a1，b1，c1），平面α的法向量为u=（a2，b2，c 2）则l⊥αa//ua1=ka2, b1=kb2,c1=kc2,k∈R. ⑶平面与平面垂直 设平面α的法向量为u=（a1，b1，c1），平面β的法向量为v=（a2，b2，c 2），则α⊥βu⊥va1b1+a2b2+a3b3=0. 【即学即练7】（2020·上海杨浦.复旦附中高二期中）已知平面的一个法向量为，则直线与平面的位置关系为_______. 【即学即练8】已知平面的法向量为，，则直线与平面的位置关系为