6.2.1 空间向量基本定理（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6.2.1　空间向量基本定理 1．空间向量基本定理 空间向量基本定理 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p＝_____________ 基底和基向量 如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e1，e2，e3 表示，我们把 称为空间的一个基底， 叫作基向量 xe1＋ye2＋ze3 线性 {e1，e2，e3} e1，e2，e3 2.正交基底和单位正交基底 正交基底 如果空间一个基底的三个基向量 ，那么这个基底叫作正交基底 单位正交基底 当一个正交基底的三个基向量都是 时，称这个基底为单位正交基底，通常用 表示 两两互相垂直 单位向量 {i，j，k} 1．判断正误 (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一个基底． (　 ) (2)若{a，b，c}为空间的一个基底，则{－a，b,2c}也可构成空间的一个基底． (　 ) (3)若三个非零向量a，b，c不能构成空间的一个基底，则a，b，c共面．(　 ) (4)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3. (　 ) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 3．已知向量{a，b，c}是空间的一个基底，p＝a＋b，q＝a－b，一定可以与向量p，q构成空间的另一个基底的是 (　 ) A．a B．b C．c D．无法确定 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作为一个基底． (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．　　 [对点训练] 1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}；②{b，c，z}；③{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的一个基底的向量组有 (　 ) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 解析：①中，a，b，x＝a＋b共面，不可作为空间的一个基底；②中，z＝c＋a与向量b，c不共面，可作为空间的一个基底；③中，x，y与a＋b＋c不共面，故②③正确．故选B. 答案：B　 2．若{a，b，c}是空间的一个基底．试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底． [方法技巧]　用基底表示向量的步骤 定基底 根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 找目标 用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果 下结论 利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量 基向量的选择和使用方法 用已知向量表示未知向量时，选择一个恰当的基底可以使解题过程简便易行，选择和使用向量应注意： (1)所选向量必须不共面，可以利用共面向量定理或常见的几何图形的几何性质帮助判断； (2)所选基向量与要表示的向量一般应在同一封闭图形内，能用基向量的线性运算表示未知向量； (3)尽可能选择具有垂直关系的、从同一起点出发的三个向量作为基底．　　 [对点训练] 如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝AA1＝AD，∠BAD＝∠DAA1＝60°，∠BAA1＝30°，N为A1D1上一点，且A1N＝λA1D1. (1)若BD⊥AN，求λ的值； (2)若M为棱DD1的中点，BM∥平面AB1N，求λ的值． 内化素养 数学运算 空间向量的数量积、模、解方程等 逻辑推理 利用三角形法则表示待求向量，进而运算 强化拓广探索 3.化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点)．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为________． ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(四)” (单击进入电子文档) 31 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解空间向量基本定理及其意义． 2．掌握空间向量的正交分解． 重点 难点 重