专题19 与圆有关的压轴题-三年（2020-2022）中考数学真题分项汇编（山东专用）

专题19 与圆有关的压轴题 一、填空题 1．（2020·山东济宁·中考真题）如图,在四边形ABCD中，以AB为直径的半圆O经过点C,D．AC与BD相交于点E，CD2=CE·CA,分别延长AB,DC相交于点P，PB=BO，CD=2．则BO的长是_________． 【答案】4 【分析】连接OC，设⊙O的半径为r，由DC2=CE•CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，利用等腰三角形的判定得BC=DC，证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到，则，然后证明，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值即可． 【详解】解：连接，如图，设的半径为， ， ， 而， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， 即OB=4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有时可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理． 二、解答题 2．（2022·山东泰安·中考真题）问题探究 （1）在中，，分别是与的平分线． ①若，，如图，试证明； ②将①中的条件“”去掉，其他条件不变，如图，问①中的结论是否成立？并说明理由． 迁移运用 （2）若四边形是圆的内接四边形，且，，如图，试探究线段，，之间的等量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②结论成立，见解析；（2），见解析 【分析】（1）①证明是等边三角形，得出E、D为中点，从而证明； ②在上截取，根据角平分线的性质，证明，，从而得到答案； （2）作点B关于的对称点E，证明，从而得到，再根据AE、DC分别是、的角平分线，得到． 【详解】（1）①，， ． 又、分别是、的平分线． 点D、E分别是、的中点． ，． ． ②结论成立，理由如下： 设与交于点F， 由条件，得，． 又 ． ． ． ∴． 在上截取． 由∵BF=BF， ∴． ． ． 又∵CF=CF， ∴． ∴． （2），理由如下： ∵四边形是圆内接四边形， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∴． 作点B关于的对称点E，连结，，的延长线与的延长线交于点M，与交于点F， ∴，． ∴． ∴ ∴ ∴ ∵AE、DC分别是、的角平分线 由②得． 【点睛】本题考查三角形、等边三角形、全等三角形、圆的内接四边形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形、等边三角形、全等三角形、圆的内接四边形的相关知识． 3．（2021·山东潍坊·中考真题）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，作DH⊥AB，交半圆、BC于点E，F，连接OC，∠ABC=θ，θ随点C的移动而变化． （1）移动点C，当点H，B重合时，求证：AC=BC； （2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FH； （3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高． 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）底面半径为1，高为 【分析】（1）根据直角三角形的性质即可求解； （2）证明△BFH∽△DAH，即可求解； （3）根据扇形与圆锥的特点及求出圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出圆锥的高． 【详解】（1）如图，当点H，B重合时，∵DH⊥AB ∴△ADB是直角三角形， ∵AC＝CD， ∴BC是△ADB的中线 ∴BC= ∴AC=BC （2）当θ＜45°时，DH交半圆、BC于点E，F， ∵AB是直径 ∴∠ACB=90° ∵DH⊥AB ∴∠B+∠A=∠A+∠D=90° ∴∠B=∠D ∵∠BHF=∠DHA=90° ∴△BFH∽△DAH， ∴ ∴BH•AH＝DH•FH； （3）∵∠ABC=θ=45° ∴∠AOC=2∠ABC=90° ∵直径AB＝8， ∴半径OA=4， 设扇形OAC卷成圆锥的底面半径为r ∴ 解得r=1 ∴圆锥的高为． 【点睛】此题主要考查圆内综合求解，解题的关键是熟知直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质及弧长的求解与圆锥的特点． 4．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G． （1）求证：EF是⊙O的切线； （2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长． 【答案】（1）见解析；（2）， 【分析】（1）因为