第62讲 二项分布、超几何分布与正态分布-2023年高考数学一轮总复习考点探究与题型突破（新高考专用）

第62讲　二项分布、超几何分布与正态分布 一、二项分布 1．伯努利试验 只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． 2．二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)． 3．两点分布与二项分布的均值、方差 (1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． (2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)． 二、超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 P(X＝k)＝，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}， r＝min{n，M}．如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布． 三、正态分布 1．定义 若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数， 则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． 2．正态曲线的特点 (1)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； (2)曲线在x＝μ处达到峰值； (3)当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 3．3σ原则 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； (2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； (3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 4．正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. · 考点1 二项分布 [名师点睛] 判断某随机变量是否服从二项分布的关键点 (1)在每一次试验中，事件发生的概率相同. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生. [典例]　 (2022·武汉调研)为贯彻“不忘立德树人初心，牢记为党育人、为国育才使命”的要求，某省推出的高考新方案是“3＋1＋2”模型，“3”是语文、外语、数学三科必考，“1”是在物理与历史两科中选择一科，“2”是在化学、生物、政治、地理四科中选择两科作为高考科目.某学校为做好选课走班教学，给出三种可供选择的组合进行模拟选课，其中A组合：物理、化学、生物，B组合：历史、政治、地理，C组合：物理、化学、地理，根据选课数据得到，选择A组合的概率为，选择B组合的概率为，选择C组合的概率为，甲、乙、丙三位同学每人选课是相互独立的. (1)求这三位同学恰好选择互不相同的组合的概率； (2)记η表示这三人中选择含地理的组合的人数，求η的分布列及数学期望. 解　用Ai表示第i位同学选择A组合，用Bi表示第i位同学选择B组合，用Ci表示第i位同学选择C组合，i＝1，2，3. 由题意可知，Ai，Bi，Ci互相独立， 且P(Ai)＝，P(Bi)＝，P(Ci)＝. (1)三位同学恰好选择不同的组合共有A＝6种情况，每种情况的概率相同，故三位同学恰好选择不同组合的概率P＝6×P(A1B2C3)＝6P(A1)P(B2)P(C3)＝6×××＝. (2)由题意知η的所有可能取值为0，1，2，3，且η～B， 所以P(η＝0)＝C＝， P(η＝1)＝C＝， P(η＝2)＝C＝， P(η＝3)＝C＝， 所以η的分布列为 η 0 1 2 3 P 所以E(η)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. [举一反三]　 1.(2022·武汉联考)在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上： (1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率； (2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及均值． 解　(1)依题意知，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同． 设其打破世界纪录的项目数为随机变量ξ，设“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件A， 则有P(A)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3) ＝C2＋C3＝. (2)由(1)可知，X～B， 则P(X＝0)＝C3＝， P(X＝1)＝C··2＝， P(X＝2)＝C·2·＝， P(X＝3)＝C·3＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以均值E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝2. 2.(2022·黄冈模拟)某公司为了解会员对售后服务(包括退货、换货、维修等)的满意度，从下半年的会