易错点09 平面向量与复数-备战2023年高考数学考试易错题（新高考专用）

专题09 平面向量与复数 易错分析 一、忽略向量共线致误 1、已知向量的夹角为钝角，则实数x的取值范围为________． 【错解】因为向量的夹角为钝角，所以， 即，解得， 【错因】概念模糊，错误地认为为钝角，实际上，为钝角不共线。 【正解】因为向量的夹角为钝角，所以且不共线， 即，解得， 所以实数x的取值范围为。 2、已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a与b的夹角为θ.若θ为锐角,则λ的取值范围是__________． 【错解】∵cos θ＝＝.因θ为锐角,有cos θ>0, ∴>0⇒2λ＋1>0, 得λ>－,λ的取值范围是. 【错因】当向量a,b同向时,θ＝0,cos θ＝1满足cos θ>0,但不是锐角． 【正解】∵θ为锐角,∴0<cos θ<1.又∵cos θ＝＝, ∴0<且≠1,∴,解得 ∴λ的取值范围是. 二、对向量共线定理及平面向量基本定理理解不准确致误 3、给出下列命题：(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示；(3)若a,b共线,则且存在且唯一；(4) λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,则λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命题的个数为 A.1 B. 2 C.3 D.4 【错解】选B或C或D 【错因】(1)对于两个向量共线定理(a(a≠0)与b共线⇔存在唯一实数λ使得b＝λa)中条件“a≠0”的理解：当a＝0时,a与任一向量b都是共线的；当a＝0且b≠0时,b＝λa是不成立的,但a与b共线．因此,为了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我们要求a≠0.换句话说,如果不加条件“a≠0”,“a与b共线”是“存在唯一实数λ使得b＝λa”的必要不充分条件． (2)面向量的一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可以有无穷多组．用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2(λ1,λ2∈R,e1,e2为同一平面内不共线的两个向量)的形式,它是向量线性运算知识的延伸．如果e1,e2是同一平面内的一组基底,且λ1e1＋λ2e2＝0(λ1,λ2∈R),那么λ1＝λ2＝0. 【正解】平面内的两个不共线的向量可以作为一组基底,(1)是假命题；(2)是真命题；对于(3), 当a,b均为零向量时可以取任意实数,当a为零向量,b为非零向量时不存在, (3)是假命题；对于(4),只有a,b为不共线向量时才成立. 三、对两两夹角相等理解不准确 4、若单位向量两两夹角相等,则的模为 . 【错解】因为单位向量两两夹角相等,则夹角为,所以 +=+ =0, 所以的模为0。 【错因】忽略了夹角为零度的情况 【正解】当的夹角为时的模为3,当夹角为时, +=+ =0,的模为0. 四、确定向量夹角忽略向量的方向致错 5、已知等边△ABC的边长为1,则·＋·＋·＝________. 【错解】∵△ABC为等边三角形,∴||＝||＝||＝1, 向量、、间的夹角均为60°.∴·＝·＝·＝. ∴·＋·＋·＝. 【错因】数量积的定义a·b＝|a|·|b|·cos θ,这里θ是a与b的夹角,本题中与夹角不是∠C.两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段间的夹角,如图与的夹角应是∠ACD. 【正解】与的夹角应是∠ACB的补角∠ACD,即180°－∠ACB＝120°.又||＝||＝||＝1,所以·＝||||cos 120°＝－.同理得·＝·＝－. 故·＋·＋·＝－. 6、在中,M是BC的中点,AM=1,点P在AM上且满足,则等于 （ ） A． B. C. D. 【错解】由知, P为△ABC的重心,根据向量的加法,, 则 = 【错因】夹角是,不是0. 【正解】由知, P为△ABC的重心,根据向量的加法,, 则 =故选A. 五、向量基本概念模糊致错 7、下列五个命题： 1 若a∥b,b∥c,则a∥c； 2 若A,B,C,D是同一平面内的四点且=，则ABCD为平行四边形； 3 若,则； 4 ； 其中正确的命题有______个。 【错解】1或2或3或4 【错因】①忽略零向量与任意向量共线；②忽略四点共线的情况；③忽略；④对数量积的运算律理解错误。 【正解】①若b为零向量,则a∥c不一定成立,故若a∥b,b∥c,则a∥c为假命题；②若＝,则A,B,C,D可能共线,故为假命题；③若,则或 ，故为假命题；④因表示与c共线的向量,表示与a共线的向量,可能不共线,故不一定相等,该命题是假命题，正确的命题有0个。 六、 忽视平面向量基