精品解析：北京市北京师范大学附属实验中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题

2022北京北师大实验中学高二（上）期中 数学 班级_________姓名_________学号_________成绩_________ 考 生 须 知 1.本试卷共7页，共五道大题，25道小题，答题卡共4页，满分150分，考试时间120分钟 2.在试卷和答题卡上准确填写班级､姓名､学号 3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效. 4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答 第I卷（共100分） 一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 已知空间向量，，则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 若直线与垂直，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 若表示圆的方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 平行六面体中，设，，，若为的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知、，则线段上靠近的三等分点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则下列说法正确的是（ ） ①若，则与所成的角为30°； ②若与所成角，则； ③若，则平面与所成的锐二面角为60°； ④若平面与所成的角为60°，则 A. ③ B. ①③ C. ②④ D. ①③④ 7. 点关于直线的对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 三棱锥中，两两垂直，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 已知点的坐标为，圆与轴交于、两点，与轴交于、两点，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充分必要条件 10. 设为函数图像上动点，是圆（其中）上的动点，若最小值为1，则以所有满足条件的点为顶点的多边形的面积为（ ） A B. C. D. 二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 过点，的直线的倾斜角为_________. 12. 若，，为共面向量，则的值为_________. 13. 正方体中，分别为棱和的中点，则直线和所成角的余弦值为_________. 14. 平面直角坐标系中，已知直线过点，与坐标轴围成的三角形的面积为，则直线的方程为_________. 15. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别为棱的中点，为及其内部的动点，满足平面，给出下列四个结论： ①直线与平面所成角为45°； ②二面角的余弦值为； ③点到平面的距离为定值； ④线段长度的取值范围是 其中所有正确结论的序号是____________ 三､解答题（本大题共3小题，共35分） 16. 已知向量，. （1）若，求； （2）求证：对任意，与不垂直； （3）若与轴平行，求、的值 17. 如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近四等分点. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值： （3）求点到平面的距离. 18. 用坐标法解答以下问题，如图，已知矩形中，，，分别为的中点，为延长线上一点，________. 从①②中任选其一，补充在横线中并作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分， ①连接并延长交于点，求证：； ②取上一点，使得，求证：三点共线. 第Ⅱ卷（共50分） 四､填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 19. 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内.已知小岛中心位于轮船正西处，陆上的港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返航，那么它是否有触礁危险？________（填“是”或“否”） 20. 已知点，，，直线，若直线与线段有公共点，则的最大值为________；若直线与线段有公共点，则的取值范围是________. 21. 已知单位向量，两两夹角均为，则________；的最小值为________. 22. 已知四棱锥中，底面四边形是边长为正方形，，设.记直线与平面所成角为，二面角的大小为.给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是________. 五､解答题（本大题共3小题，共34分） 23. 平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，半径是1，直线的方程为，点. （1）若与圆相切，求的值； （2）若经过点A，求直线与圆的交点的坐标； （3）若过点A的直线截得圆的弦长，求的斜率的取值范围. 24. 如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，是的中点. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）棱上是否存在点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，说明理由. 25