北京市陈经纶中学2022-2023学年高二上学期期中质量检测数学试题

2022-2023学年北京市陈经纶中学高二上学期期中 数 学 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，. 若， 则（ ）. A. B. C. D. 2. 点到直线的距离是（ ）. A. B. C. D. 3. 直线经过点，且倾斜角，则直线的方程为（    ） A. B. C. D. 4. 若圆与圆相外切，则实数 （ ） A. B. C. D. 5．已知两个不重合的平面与平面ABC，若平面的法向量为，，，则（     ） A．平面平面ABC B．平面平面ABC C．平面与平面ABC相交但不垂直 D．以上均不可能 6. 在平面直角坐标系中，椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，过的直线交椭圆于两点，且的周长为16，则椭圆的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 三棱锥中，，平面，，，则直线和直线所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8．“”是“直线与直线平行”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 9. 已知椭圆的左、右焦点分别是，，若离心率，则称椭圆为“黄金椭圆”.则下列三个命题中正确命题的个数是（ ） ①在黄金椭圆中，； ②在黄金椭圆中，若上顶点、右顶点分别为，，则； ③在黄金椭圆中，以，，，为顶点的菱形的内切圆过焦点，． A． B． C． D． 10. 如图，等腰直角中，，为平面外一动点，满足，，给出下列四个结论： ①存在点，使得平面平面； ②存在点，使得平面平面； ③设的面积为，则的取值范围是； ④设平面与平面夹角的大小为，则的取值范围是. 其中正确结论是（ ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分. 11. 写出一个圆心在直线上，且经过原点的圆的方程：______． 12. 已知直线，，，若．则的倾斜角为______． 13. 不经过坐标原点的直线被圆截得的弦长为，则m的值为______． 14．在空间四边形中，则______． 15．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为m，行车道总宽度BC为m，侧墙EA、FD高为2m，弧顶高MN为5m．为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5m．请计算车辆通过隧道的限制高度是 ． 16. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论： ①平面截正方体所得的截面图形是五边形； ②直线到平面的距离是； ③存在点，使得； ④△面积的最小值是. 其中所有正确结论的序号是 ． 三、解答题：本大题共5个小题，共70分. 17. 如图，在长方体中，，是的中点． （Ⅰ）求点到平面的距离； （Ⅱ）求证：平面平面． 18.（本小题满分13分） 已知圆过点，圆心为． （Ⅰ）求圆的方程； （Ⅱ）判断直线与圆的位置关系； （Ⅲ）已知过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程． 19.（本小题满分14分） 已知在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过焦点的直线与椭圆交于两点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）从下面两个条件中任选其一作为已知，证明另一个成立： 1 ；②直线的斜率满足：. 20. 如图，在四棱锥中，，，，，平面，且，点在棱上，点为中点. （Ⅰ）证明：若，则直线平面； （Ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值； （Ⅲ）是否存在点，使与平面所成角的正弦值为？若存在，试求出值；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分15分） 对于向量，若三个实数互不相等，令向量，其中，，，（）. （Ⅰ）当时，直接写出向量； （Ⅱ）证明：对于，向量中的三个实数至多有一个为0； （Ⅲ）若，证明：，. 参考答案 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1.（ A ）. 2.（ B ）. 3.（  B  ） 4. （ C ） 5．（   A  ） 6.（ D ） 7.（ C ） 8．（   A  ） 9.（ D ） 10.（ B ） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.