2.2 2.2.3 第2课时 两条直线的垂直-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案全书word（人教B版）

第2课时　两条直线的垂直 (教师独具内容) 课程标准：能根据斜率判定两条直线垂直． 教学重点：两条直线垂直的条件． 教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题． 核心素养：通过推导两条直线垂直的充要条件及利用两条直线的垂直关系解决问题培养数学抽象素养和数学运算素养. 知识点　　两条直线的垂直 (1)一般地，若已知平面直角坐标系中的直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，可得l1⊥l2⇔k1k2＝－1. (2)设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.因为v1＝(A1，B1)是直线l1的一个法向量，v2＝(A2，B2)是直线l2的一个法向量，所以l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔A1A2＋B1B2＝0. 1．对两直线垂直与斜率的关系要注意的几点 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；②k1≠0且k2≠0. (2)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零． 2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于x轴的对称点为A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于y轴的对称点为B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线y＝x的对称点为C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线y＝－x的对称点为D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线x＝m的对称点为P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线y＝n的对称点为Q′(a,2n－b)． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.(　　) (2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与x轴垂直．(　　) (3)两条直线的斜率分别为k1，k2，若k1k2≠－1，则两条直线一定不垂直．(　　) (4)直线2x＋3y－1＝0与直线3x－2y＋1＝0垂直．(　　) 答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2．做一做 (1)若直线ax＋2y－1＝0与直线2ax－2y＋1＝0垂直，则a的值为(　　) A．0或 B．－ C．±2 D．± (2)已知直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，且k1＝3，l1⊥l2，则k2＝________. (3)已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2经过点A(0,5)，B(，2)，则直线l1与直线l2的位置关系为________. 答案　(1)D　(2)－　(3)l1⊥l2 题型一 两条直线的垂直 例1　当a为何值时，直线l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ [解]　解法一：由题意，知直线l1⊥l2. ①若1－a＝0，即a＝1时，直线l1：3x－1＝0与直线l2：5y＋2＝0显然垂直； ②若2a＋3＝0，即a＝－时，直线l1：x＋5y－2＝0与直线l2：5x－4＝0不垂直； ③若1－a≠0且2a＋3≠0，则直线l1，l2的斜率k1，k2存在， k1＝－，k2＝－. 当l1⊥l2时，k1k2＝－1， 即·＝－1， ∴a＝－1. 综上可知，当a＝1或a＝－1时，直线l1⊥l2. 解法二：∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0， ∴(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝±1， ∴当a＝±1时，l1⊥l2. (1)判断两直线是否垂直的依据：在这两条直线斜率都存在的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与x轴垂直，另一条直线与x轴平行时，两直线也垂直． (2)直接使用A1A2＋B1B2＝0判断两条直线是否垂直更有优势． [跟踪训练1]　已知直线l1：mx＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋n＝0垂直且垂足为(1，p)，则m－n＋p的值为(　　) A．－24 B．20 C．0 D．－4 答案　B 解析　由已知，得A1A2＋B1B2＝2m＋4×(－5)＝0，∴m＝10，l1的方程为5x＋2y－1＝0，∴5×1＋2×p－1＝0，∴p＝－2，∴垂足为(1，－2)，∴2×1－5×(－2)＋n＝0，∴n＝－12，∴m－n＋p＝10＋12－2＝20.故选B． 题型二 利用垂直关系求直线方程 例2　求经过两条直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． [解]　解法一：联立l1，l2的方程 得交点P(0,2)． 设过P点与l3垂直的直线方程为4x＋3y＋D＝0，代入P点坐标得4×0＋3×2＋D＝0， ∴D＝－6. ∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0. 解法二：由解法一知，l1与l2的交点P(0,2)， ∵直线l与l3垂直，∴kl＝－＝－， ∴直线l的方程为y－2＝－x，即4x