2.2 2.2.2 第2课时 直线的两点式方程、截距式方程与一般式方程-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案全书word（人教B版）

第2课时　直线的两点式方程、截距式方程与一般式方程 (教师独具内容) 课程标准：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的两点式、截距式和一般式． 教学重点：直线方程的两点式、截距式和一般式． 教学难点：直线方程的各种形式之间的相互转化及它们各自的适用范围． 核心素养：1.通过学习直线的两点式方程、截距式方程及一般式方程培养数学抽象素养.2.通过利用直线的两点式方程、截距式方程及一般式方程解决问题培养数学运算素养. 知识点一　直线的两点式方程 经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x2－x1≠0且y2－y1≠0)的直线方程为＝，这种形式的直线方程称为直线的两点式方程. 知识点二　直线的截距式方程 直线在x，y轴上的截距分别为a，b，且a≠0，b≠0，则直线方程可写为＋＝1，这种形式的方程称为直线的截距式方程，注意这里要求直线在x轴与在y轴上的截距都存在且不为0. 知识点三　直线的一般式方程 (1)所有的直线方程都是关于x，y的二元一次方程，关于x，y的二元一次方程都表示一条直线. (2)把方程Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)称为直线的一般式方程． (3)在方程Ax＋By＋C＝0中，如果B≠0，则方程可以化为y＝－x－，它表示的是斜率为－且截距为－的直线；如果B＝0，则由A与B不同时为零可知A≠0，从而方程可以化为x＝－，它表示的是斜率不存在且过点的直线． (4)v＝(A，B)为直线Ax＋By＋C＝0的一个法向量． 1．直线的两点式方程应注意的问题 要注意方程＝和方程(y－y1)·(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任意两点的直线． 2．直线的截距式方程 我们把直线与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为直线在x轴上的截距，此时直线在y轴上的截距是b. 方程＋＝1由直线l在两个坐标轴上的截距a与b确定，所以称为直线的截距式方程． (1)截距式方程的条件是a≠0，b≠0，即直线有两个非零截距，截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示与坐标轴平行的直线． (2)直线的截距式方程的特征是x项分母对应的是横截距，y项分母对应的是纵截距，中间以“＋”号连接，等式右边为1，如－＝－1就不是直线的截距式方程． (3)由直线的截距式方程可直接读出直线在x轴和y轴上的截距，同时，截距式在解决与面积有关的问题和作图时使用起来非常方便． (4)直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，直线在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标，而不是交点到原点的距离，因此截距a，b可能为正或零，也可能为负． 3．二元一次方程的系数和常数项对直线的位置的影响 (1)当A＝0，B≠0，C≠0时，方程表示的直线与x轴平行． (2)当A≠0，B＝0，C为任意实数时，方程表示的直线与x轴垂直． (3)当A＝0，B≠0，C＝0时，方程表示的直线与x轴重合． (4)当A≠0，B＝0，C＝0时，方程表示的直线与y轴重合． (5)当C＝0，A，B不同时为0时，方程表示的直线过原点． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示．(　　) (2)过原点的直线没有截距式方程．(　　) (3)过点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程是＝.(　　) (4)当A，B同时为0时，方程Ax＋By＋C＝0也可表示一条直线．(　　) (5)任何直线的方程都能化成一般式方程．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)√ 2．做一做 (1)经过点A(－3,2)，B(4,4)的直线的两点式方程为(　　) A.＝ B．＝ C.＝ D．＝ (2)直线－＝1在y轴上的截距为________. (3)直线2x－3y＋1＝0的一个法向量为v＝________. (4)直线3x－2y＝4的截距式方程是________. 答案　(1)A　(2)－3　(3)(2，－3) (4)＋＝1 题型一 直线的两点式方程 例1　(1)已知直线l的两点式方程为＝，则l的斜率为(　　) A．－ B． C．－ D． [解析]　由两点式方程知直线过(－5,0)，(3，－3)，故kl＝＝－，故选A. [答案]　A (2)已知三角形的顶点是A(－5,0)，B(3，－3)，C(0，2)，求AC边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程． [解]　过点A(－5,0)，C(0,2)的直线的两点式方程为＝，整理得2x－5y＋10＝0，这就是AC边所在直线的方程． AC边上的中线是顶点B与AC边中点的连线．设线段AC的中点为D(x，y)，则即D. 由两点式得直线BD的方程为＝，整理可得8x＋11y＋