1.2 1.2.2 第2课时 空间中平面与平面平行、垂直的证明-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案全书word（人教B版）

第2课时　空间中平面与平面平行、垂直的证明 (教师独具内容) 课程标准：能用向量语言表述平面与平面的垂直与平行关系． 教学重点：1.用向量方法解决平面与平面平行、垂直的证明问题.2.三垂线定理及其逆定理． 教学难点：三垂线定理及其逆定理的应用． 核心素养：通过运用平面的法向量证明面面平行与垂直培养逻辑推理素养和直观想象素养. 知识点一　平面与平面平行、垂直的判定 已知n1是平面α1的一个法向量，n2是平面α2的一个法向量， 则n1⊥n2⇔α1⊥α2； n1∥n2⇔α1∥α2，或α1与α2重合. 知识点二　三垂线定理及其逆定理 (1)射影 ①已知空间中的平面α以及点A，过A作α的垂线l，设l与α相交于点A′，则A′就是点A在平面α内的射影(也称为投影)． ②空间中，图形F上所有点在平面α内的射影所组成的集合F′，称为图形F在平面α内的射影． (2)三垂线定理及其逆定理 ①三垂线定理：如果平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直． ②三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在该平面内的射影垂直． 三垂线定理与其逆定理 (1)从条件上看，三垂线定理的条件是平面内的直线和斜线的射影垂直，其逆定理的条件是平面内的直线和斜线垂直． (2)从功能上看，三垂线定理用于解决已知共面垂直，证明异面垂直的问题，而逆定理正好相反． (3)不论定理还是逆定理，已知直线必须是平面内的一条直线． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若u，v分别是平面α，β的法向量，则α⊥β⇔u·v＝0.(　　) (2)若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．(　　) (3)平面α，β的法向量分别为n1＝(0,1,3)，n2＝(1，0,2)，则α∥β.(　　) (4)斜线b在平面α内的射影为c且直线a⊥c，则a与b一定垂直．(　　) 答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2．做一做 (1)已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是(　　) A．(4,2，－2) B．(2,0,4) C．(2，－1，－5) D．(4，－2,2) (2)已知平面α与平面β垂直，若平面α与平面β的法向量分别为μ＝(－1,0,5)，v＝(t,5,1)， 则t的值为________. (3)如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上，则平面AEC与平面PDB的位置关系是________. 答案　(1)D　(2)5　(3)垂直 题型一 利用空间向量证明面面平行 例1　如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点，AB＝2，DE＝4. 求证：平面BDM∥平面EFC. [证明]　因为DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，所以DA，DC，DE两两垂直．以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，E(0,0,4)，F(2,2,4)，M(1,0,2)． 所以＝(1,0,2)，＝(2,2,0)，＝(2,2,0)，＝(2,0,4)． 设平面BDM的一个法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则所以 令z1＝1，得x1＝－2，y1＝2. 所以平面BDM的一个法向量为n1＝(－2,2,1)． 设平面EFC的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)， 则所以 令x2＝1，得y2＝－1，z2＝－. 所以平面EFC的一个法向量为n2＝. 因为n2＝－n1，所以n1∥n2. 所以平面BDM∥平面EFC. 证明面面平行的方法 设平面α的一个法向量为n1＝(a1，b1，c1)，平面β的一个法向量为n2＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔n1∥n2⇔(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)(k∈R)． [跟踪训练1]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO? 解　以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2， 则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)． 设Q(0,2，c)，∴＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,1)，＝(－2,0，c)． 设平面PAO的一个法向量为n1＝(x，y，z)， 则⇔ 令x＝1，则y＝1，z＝2， ∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)． 若平面D1BQ∥平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量． ∴n1·＝0，即