1.1 1.1.1 第2课时 空间向量的数量积-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案全书word（人教B版）

第2课时　空间向量的数量积 (教师独具内容) 课程标准：1.掌握空间向量的数量积.2.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义． 教学重点：1.空间向量夹角的概念.2.空间向量数量积的概念、性质及计算方法． 教学难点：空间向量数量积性质的应用． 核心素养：1.通过对空间向量数量积的概念、性质的学习提升数学抽象素养.2.通过运用空间向量的数量积求空间向量的夹角、证明垂直提升数学运算素养. 知识点一　空间向量的夹角 给定两个非零向量a，b，任意在空间中选定一点O，作＝a，＝b，则大小在[0，π]内的∠AOB称为a与b的夹角，记作〈a，b〉.特别地，如果〈a，b〉＝，则称向量a与b垂直，记作a⊥b；约定零向量与任意向量都垂直． 知识点二　空间向量的数量积 (1)定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.规定零向量与任意向量的数量积为0. (2)几何意义：a与b的数量积等于a在b上的投影a′的数量与b的长度的乘积.特别地，a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a′的数量. (3)投影：空间向量a在向量b上的投影a′，可以过a的始点和终点分别作与b所在直线垂直的平面得到．如图，向量b在棱AB上，a＝，因为＝，BC⊥AB，所以a在向量b上的投影a′＝. 知识点三　空间向量数量积的性质 (1)a⊥b⇔a·b＝0； (2)a·a＝|a|2＝a2； (3)|a·b|≤|a||b|； (4)(λa)·b＝λ(a·b)； (5)a·b＝b·a(交换律)； (6)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 1．理解空间两个向量的夹角应注意的几个问题 (1)由定义知，两个非零向量才有夹角，当两非零向量同向时夹角为0，反向时夹角为π，即〈a，b〉＝0或π⇔a∥b(a，b为非零向量)． (2)零向量与其他向量之间不定义夹角，并规定0与任意向量平行，约定0与任意向量都垂直．两非零向量的夹角是唯一确定的． (3)对空间任意两向量a，b有： ①〈a，b〉＝〈b，a〉＝〈－a，－b〉＝〈－b，－a〉； ②〈a，－b〉＝〈－a，b〉＝π－〈a，b〉； ③〈，〉＝〈，〉＝π－〈，〉． 2．对空间向量数量积的理解 (1)a·b是数量而不是向量，a·b的正负由cos〈a，b〉确定． (2)a·b是两向量之间的一种乘法，与数的乘法不同．书写时应写成a·b，而不能写成ab，也不能写成a×b. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量与的夹角等于向量与的夹角．(　　) (2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)．(　　) (3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c.(　　) (4)若非零向量a，b为共线且同向的向量，则a·b＝|a||b|.(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2．做一做 (1)(多选)下列各命题中，一定为真命题的是(　　) A.＝|a| B．m(λa)·b＝(mλ)a·b(m，λ∈R) C．a·(b＋c)＝(b＋c)·a D．a2b＝b2a (2)已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝30°，则a·b＝________. (3)已知空间向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________. 答案　(1)ABC　(2)3　(3) 题型一 空间向量的夹角 例1　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量与的夹角〈，〉＝________；向量与的夹角〈，〉＝________. [解析]　如图，连接A1D，BD.∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥C1B，故〈，〉＝90°，∵∥，∴〈，〉＝〈，〉＝180°－∠A1BD，∵△A1BD为等边三角形，∴∠A1BD＝60°，∴〈，〉＝120°. [答案]　90°　120° 找两向量的夹角关键是把两向量平移到一个公共的起点，找到向量的夹角，再利用解三角形求角，注意向量夹角的范围是[0，π]． [跟踪训练1]　在正四面体A－BCD中，点E，F分别是AC，AD的中点，则与的夹角为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 答案　C 解析　由题意，可得＝，所以〈，〉＝〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°. 题型二 空间向量数量积的计算 例2　已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O1为上底面A1B1C1D1的中心．求： (1)·； (2)·； (3)·. [解]　(1)如图所示，连接AC，BD交于点O，连接OO1.由题意，得||＝a. ∵OO1⊥AC， ∴在上的投影为， ∵||＝a， ∴·＝||||＝a×a＝a2. (2)取AB的中点E，∴O1E⊥AB， ∴在上的投影为， 又||＝a，||＝a， ∴·＝||||＝a×a＝a2. (3)〈，〉＝〈，〉＝60°， 又||＝||＝a， ∴