专题03 条件概率与事件的独立性（精讲）-2022-2023学年高二数学常见考点精讲精练(人教B版2019选择性必修第二册)

专题03 条件概率与事件的独立性（精讲） 知识梳理 一 条件概率 1.条件概率的定义 一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)， 2.条件概率的公式 P(A|B)=. 2.求条件概率的方法 求已知事件A发生的条件下事件B发生的概率P(B|A). 计算条件概率的两种方法 二 乘法公式与全概率公式 1.乘法公式： 由条件概率的计算公式P(B|A)=可知P(AB)=P(A)P(B|A),这就是说,根据事件A发生的概率,以及已知事件A发生的条件下事件B发生的概率,可以求出A与B同时发生的概率.一般地,这个结论称为乘法公式. 2.全概率公式: 一般地,如果样本空间为Ω,而A,B为事件,则BA与B是互斥的,且B=BΩ=B(A+)=BA+B,从而P(B)=P(BA+B)=P(BA)+P(B).更进一步,当P(A)>0且P()>0时,因为由乘法公式有P(BA)=P(A)P(B|A),P(B)=P()P(B|),所以P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|).这称为全概率公式. 定理1　若样本空间Ω中的事件A1,A2,…,An满足 (1)任意两个事件均互斥,即AiAj=⌀,i,j=1,2,…,n,i≠j;(2)A1+A2+…+An=Ω;(3)P(Ai)>0,i=1,2,3,…,n. 则对Ω中的任意事件B,都有B=BA1+BA2+…+BAn，且P(B)=P(BAi)=P(Ai)P(B|Ai). 上述公式也称为全概率公式. 3．贝叶斯公式 (1)一般地，当0＜P(A)＜1且P(B)＞0时，有 P(A|B)＝＝. (2)定理2　若样本空间Ω中的事件A1，A2，…，An满足： ①任意两个事件均互斥，即AiAj＝∅，i，j＝1,2，…，n，i≠j； ②A1＋A2＋…＋An＝Ω； ③1＞P(Ai)＞0，i＝1,2，…，n. 则对Ω中的任意概率非零的事件B，有P(Aj|B)＝＝. 三 独立性与条件概率的关系 1．如果P(A|B)=P(A)，那么一定有P(AB)=P(A)P(B)．因此，当P(B)>0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)=P(A)． 当P(A|B)≠P(A)时，事件B的发生会影响事件A发生的概率，此时A与B是不独立的．事实上，“A与B独立”也经常被说成“A与B互不影响”等． P(A|B)==