4.1.1 条件概率-【创新教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册五维课堂同步Word教案（人教B版2019）

4．1　条件概率与事件的独立性 4．1.1　条件概率 课程标准 素养解读 1.在具体情境中，了解条件概率 2．掌握条件概率的计算方法 3．利用条件概率公式解决一些简单的实际问题 1.通过条件概率的学习，体会数学抽象的素养 2．借助条件概率公式解题，提升数学运算素养 [情境引入] 高二(1)班共有30名男生，20名女生，其中男生中共有8名共青团员，女生中共有10名共青团员． 问题1：从该班学生中任意抽取1人，其是女生的概率是多少？ 问题2：已知抽出的是女同学的前提下，该同学是共青团员的概率又是多少？ [知识梳理] [知识点一]　条件概率　 定义 一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0)，已知事件　B　发生的条件下事件　A　发生的概率，称为在B的条件下事件A发生的概率 表示 P(A|B) 计算 公式 P(A|B)＝　　 1.P(B|A)和P(A|B)的意义相同吗？为什么？ 提示：不同．P(B|A)是指在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，而P(A|B)是指在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，因此P(B|A)和P(A|B)的意义不同． 2．古典概型中的条件概率还可以怎样计算？ 提示：P(B|A)＝ [知识点二]　条件概率的性质　 (1)0≤P(B|A)≤1； (2)P(A|A)＝　1　； (3)如果B与C互斥，则P(B∪C|A)＝　P(B|A)＋P(C|A) ．　 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　) (2)事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　　) (3)P(B|A)≠P(A∩B)．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 2．设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 解析：A　[由P(B|A)＝＝＝，故选A.] 3．(教材P43例3改编)设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________． 解析：根据条件概率公式知P＝＝0.5. 答案：0.5 　　　利用定义求条件概率 [例1]　一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B. (1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率； (2)求P(B|A)． [思路点拨]　首先弄清“这次试验”指的是什么，然后判断该问题是否属于古典概型，最后利用相应公式求解． 解：由古典概型的概率公式可知 (1)P(A)＝， P(B)＝＝＝， P(A∩B)＝＝. (2)P(B|A)＝＝＝. 1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P(A)，P(A∩B)； (3)代入公式求P(B|A)＝. 2．结合古典概型分别求出事件A，B的概率，从而求出P(B|A)，提示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系． [变式训练] 1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A，“第二次出现正面”为事件B，则P(B|A)等于(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：A　[由题知本题是一个条件概率，第一次出现正面的概率是P(A)＝，第一次出现正面且第二次也出现正面的概率是P(AB)＝×＝，则P(B|A)＝＝＝.] 　利用基本事件个数求条件概率 [例2] 现有6个节目准备参加比赛，其中4个舞蹈节目，2个语言类节目，如果不放回地依次抽取2个节目，求： (1)第1次抽到舞蹈节目的概率； (2)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率； (3)在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率． [思路点拨]　第(1)、(2)问属古典概型问题，可直接代入公式；第(3)问为条件概率，可以借用前两问的结论，也可以直接利用基本事件个数求解． 解：设第1次抽到舞蹈节目为事件A，第2次抽到舞蹈节目为事件B，则第1次和第2次都抽到舞蹈节目为事件A∩B. (1)从6个节目中不放回地依次抽取2个的事件数为n(Ω)＝A＝30， 根据分步计数原理n(A)＝AA＝20，于是P(A)＝＝＝. (2)因为n(A∩B)＝A＝12，于是P(A∩B)＝＝＝. (3)法一：由(1)(2)可得，在第1次抽到舞蹈节目的条件下，第2次抽到舞蹈节目的概率为P(B|A)＝＝＝. 法二：因为n(A∩B)＝12，n(A)＝20， 所以P(B|A)＝＝＝. 利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相等，从而可以在缩小的概率空间上利用古典概型公式计算条件概率，即P(B|A)＝，这里n(A)和n(AB)的计数是基于缩小的基本事件范围的． [变式训练] 2．一个盒子内装有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中取两次，每次任取1个，做不放回抽取．设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B为“第二次取到的是一等品”，试求条件概率P(B|A)． 解：将产品编号为1,2,3号的看作一等品，4号为二等品，以(i，j)表示第一次，第二次分别取得第i号，第j号产品，则试验的基本事件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，事件A有9种情况，事件AB有6种情况，P(B|A)＝＝＝. 　　　条件概率的综合应用 [例3]　一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0～9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字．求： (1)任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率； (2)如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率． [思路点拨]　(1)不超过2次，即第1次按对或第1次未按对第2次按对； (2)条件概率，利用互斥事件的条件概率公式求解． 解：设第i次按对密码为事件Ai(i＝1,2)，则A＝A1∪(1A2)表示不超过2次按对密码． (1)因为事件A1与事件1A2互斥，由概率的加法公式得P(A)＝P(A1)＋P(A1A2)＝＋＝. (2)用B表示最后一位按偶数的事件，则P(A|B)＝P(A1|B)＋P((1A2)|B)＝＋＝. 1．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”． 2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率． [变式训练] 3．在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率． 解：设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第三个球为黑球”为事件C. 则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝. 所以P(B|A)＝＝÷＝，P(C|A)＝＝÷＝. 所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.所以所求的条件概率为. [当堂达标] 1．设A，B为两个事件，若P(A∩B)＝，P(B)＝，则P(A|B)＝(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：C　[由P(A|B)＝＝＝.] 2．某班学生的考试成绩中，数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，两门都不及格的占3%，已知一学生数学不及格，则他的语文也不及格的概率是(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 解析：A　[设A为事件“数学不及格”，B为事件“语文不及格”，P(B|A)＝＝＝，所以当数学不及格时，该学生语文也不及格的概率为.] 3．某产品长度合格的概率为，质量合格的概率为，长度、质量都合格的概率为，任取一件产品，已知其质量合格，则它的长度也合格的概率为________． 解析：　[令A：产品的长度合格，B：产品的质量合格，A∩B：产品的长度、质量都合格，则P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝. 任取一件产品，已知其质量合格，它的长度也合格，即为A|B，其概率P(A|B)＝＝＝.] 答案： 4．分别用集合M＝{2,4,5,6,7,8,11,12}中的任意两个元素作分子与分母构成真分数，已知取出的一个元素是12，则取出的另一个元素与之构成可约分数的概率是________． 解：设“取出的两个元素中有一个是12”为事件A，“取出的两个元素构成可约分数”为事件B，则n(A)＝7. n(AB)＝4，所以P(B|A)＝＝. 答案： 5．考虑恰有两个小孩的家庭． (1)若已知某家有男孩，求这家有两个男孩的概率； (2)若已知某家第一个是男孩，求这家有两个男孩(相当于第二个也是男孩)的概率(假定生男生女为等可能)． 解析：Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}． 设B＝“有男孩”，则B＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)}． A＝“有两个男孩”，则A＝{(男，男)}， B1＝“第一个是男孩”，则B1＝{(男，男)，(男，女)}， 于是得(1)P(B)＝，P(BA)＝P(A)＝， 所以P(A|B)＝＝； (2)P(B1)＝，P(B1A)＝P(A)＝， 所以P(A|B1)＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$