专题1.5 直角三角形的边角关系章末题型过关卷-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（北师大版）

第1章 直角三角形的边角关系章末题型过关卷 【北师大版】 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（2022·安徽淮南·模拟预测）在ABC中， ，则ABC一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得，，从而得，，根据特殊角度三角函数的性质，得，；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ABC一定是等腰直角三角形 故选：D． 【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解． 2．（3分）（2022·黑龙江·哈尔滨市第十七中学校一模）已知中，为的对边，为的对边，若与已知，则下列各式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用锐角三角函数的定义列出算式，然后变形计算即可． 【详解】解：如图所示：tanA=， 则a=btan∠A． 故选：C． 【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 3．（3分）（2022·浙江温州·三模）如图，架在消防车上的云梯AB长为15m，，，云梯底部离地面的距离BC为2m．则云梯的顶端离地面的距离AE的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明四边形BCED是矩形，得到DE=BC=2，用∠ABC的正弦求得AD=ABsin∠ABD=15sinα，得到AE= DE +AD =2+15sinα． 【详解】解：∵AE⊥CE，BC⊥CE， ∴∠AEC=∠BCE=90°， ∵BD∥CE， ∴BD⊥AE，BD⊥BC， ∴∠ADB=∠BDE=∠DBC=90°， ∴四边形BCED是矩形， ∴DE=BC=2， ∵AD=ABsin∠ABD=15sinα， ∴AE= DE +AD =2+15sinα． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解决问题的关键是熟练掌握矩形的判断和性质，正弦的定义和计算． 4．（3分）（2022·浙江宁波·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，DE是△ABC的中位线，连结CD．下列各组线段的比值一定与cosA相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊角锐角三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案． 【详解】∵是的中位线 ∴点、分别是、的中点 ∵ ∴ ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题考查三角形综合问题，涉及直角三角形斜边上的中线性质，中位线的性质以及特殊角锐角三角函数的定义，本题属于中等题型． 5．（3分）（2022·江苏扬州·二模）如图，在矩形ABCD中，，，E是BC的中点，将沿直线AE翻折，点B落在点F处，连结CF，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用翻折的性质，以及外角定理证得∠AEB=∠ECF，进行角度转换即可求出结果． 【详解】解：如图，∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°， ∵E是BC的中点，， ∴BE＝CE=， ∴AE= ， 由翻折变换的性质得：∠AEF=∠AEB,EF=BE=， ∴EF＝CE， ∴∠EFC＝∠ECF， ∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF， ∴∠AEB=∠ECF， ∴=， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，三角函数，熟练掌握矩形的性质和翻折变换的性质，证出∠AEB=∠ECF是解决问题的关键． 6．（3分）（2022·浙江·温州外国语学校二模）矩形纸片ABCD按如图1的方式分割成三个直角三角形①、②、③，又把这三个三角形按如图2的方式重叠放置在一起，阴影分别为①、②与③的重叠部分，且①的斜边一端点恰好落在②的斜边上，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设DE=x，令AB=b，BC=a，然后根据同角的余角相等得到∠BAC=∠ADE，∠EDC=∠ACB，再利用等角的三角函数值相等，得到AE的长度，列出方程化简得到a与b之间的关系，最后得到AB与BC的比值． 【详解】解：设DE=x，令AB=b，BC=a，如图， ∴AB•BC=AC•DE，即， ∴， ∵， ∵∠BAC+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°， ∴∠ADE=∠BAC， 同理可得，∠EDC=∠ACB， ∴， ∴， ∵∠EDC=∠ACB， ∴∠A'D'C=∠ACB， ∴A'E'=， ∵CD'=ED，A'E'=AE， ∴， ∴， 化简得，4a3b=3a2b2，即， ∵a＞0，b＞0， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理、矩形的性质、解直角三角形，