专题10 导数法研究纯三角函数结构解析函数的性质-备战2023年高考数学复习扫盲微专题系列

专题10 -----导数法研究纯三角函数结构的解析函数的性质 【专题导航】 在教学三角函数的图像与性质时，老师们一般讲解把三角函数表达式化为型函数研究，在涉及求最值时，例如，有时讲换元为普通函数的解析结构，或者数形结合，用几何意义法求解.实际上，高考常会考查，用导数法研究三角函数的图像与性质，教辅资料未讲.本专题只研究导数法研究纯三角函数结构的解析函数的性质，三角函数结构与其他函数结构结合的函数的图像与性质，详见导数二轮专题高端函数系列. 题型一 纯三角函数结构的解析函数的函数图像 罗师导航 （1）从函数的定义域判断图像左右位置；从函数的值域判断图像的上下位置； （2）从函数的单调性或者凹凸性判断图像的变化趋势； （3）从函数的奇偶性判断图像的对称性； （4）从函数的周期性判断图像的循环往复； （5）取特殊点，把点代入函数，从点的位置判断； （6）必要时可求导研究函数性质，从函数图象所过的特征点以及函数值的符号，函数的变化趋势，排除不合要求的图像. 【例1-1】（识图）函数在的图像大致为（ ） 【答案】C；【解析】因为，故排除A；因为，所以函数为奇函数，故排除B；因为，分别作出与的图象，可知极值点在上，故选C．考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性． 【例1-2】（用图）函数图像如图，在定义域内可导，且其导函数为，则不等式的解集为( ) A. B． C． D． 【答案】B；【分析】当时，因为，则等价于；当时，因为，则等价于，分别求解即可得到答案. 【解析】当时，因为，则等价于，所以；当时，因为，则等价于，所以，故不等式的解集为.故选B. 【能力达标训练】 【1-1】函数的图像大致是（ ）． 【答案】B；【解析】试题分析：因为，所以，而当时，，故选B．考点：三角函数的图象与性质． 【1-2】函数的图象上的点处的切线的斜率为k，若，则函数的大致图象为（ ） A． B． C． D． 【答案】B；【分析】求出函数的导数，得到函数的解析式，利用奇偶性及特殊函数值进行排除即可．【解析】函数，可得，在点处的切线的斜率为k，若，函数k是偶函数，排除A，D，当时，，显然C不正确，B正确；故选：B． 【1-3】现设曲线在点处的切线的斜率为，则函数的部分图象可以为（ ） 【答案】A；【解析】因为曲线在点处的切线的斜率为，故,是奇函数,图像关于原点对称,且在大于等于零,故选A. 【1-4】已知函数，下列结论不正确的是（ ） A． 的图像关于点中心对称 B．既是奇函数，又是周期函数 C．的图像关于直线对称 D．的最大值是 【答案】D;【分析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果． 【解析】，正确； ，为奇函数，周期函数，正确； ，正确； D： ，令，则，，，，则时，或时，即在上单调递增，在和上单调递减；且，，，故D错误．故选：． 题型二 用导数的相关概念研究三角函数的性质函数图像 罗师导航 准确理解相关概念，合理建立数学模型 【例2-1】（多项选择题）（2022·全国·高考真题）已知函数的图像关于点中心对称，则（       ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个极值点 C．直线是曲线的对称轴 D．直线是曲线的切线 【答案】AD；【分析】根据三角函数的性质逐个判断各选项，即可解出． 【解析】由题意得：，所以，，即， 又，所以时，，故．对A，当时，，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，，，直线不是对称轴； 对D，由得：，解得或, 从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为， 切线方程为：即．故选：AD． 【例2-2】（2022·全国·高考真题（理））设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C；【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦函数的性质得到不等式组，解得即可． 【解析】依题意可得，因为，所以， 要使函数在区间恰有三个极值点、两个零点，又，的图象如下所示： 则，解得，即．故选：C． 【能力达标训练】 【2-1】（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标Ⅱ））若x1=，x2=是函数f(x)=(>0)两个相邻的极值点，则=（ ） A．2 B． C．1 D． 【答案】A；【解析】由题意知，的周期，得．故选A． 【2-2】（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科