2023年九年级数学中考专题训练——二次函数与特殊的四边形

中考专题训练——二次函数与特殊的四边形 1.如图,已知抛物线y=ax2过点A(﹣3,). (1)求抛物线的解析式; (2)已知直线l过点A,M(,0)且与抛物线交于另一点B,与y轴交于点C,求证:MC2=MA•MB; (3)若点P,D分别是抛物线与直线l上的动点,以OC为一边且顶点为O,C,P,D的四边形是平行四边形,求所有符合条件的P点坐标. 2.如图,直线与轴和轴分别交于、两点,抛物线经过、两点,并且与轴的另一个交点为,将直线绕点逆时针旋转后,与抛物线交于点,作直线BD, (1)求抛物线的解析式; (2) 求点的坐标及的面积; (3)点是直线上的动点,点是抛物线上的动点,当以点、、、为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点的坐标. 3.如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c(c>0)的顶点为D,与y轴的交点为C.过点C的直线CA与抛物线交于另一点A(点A在对称轴左侧),点B在AC的延长线上,连结OA,OB,DA和DB. (1)如图1,当AC∥x轴时, ①已知点A的坐标是(﹣2,1),求抛物线的解析式; ②若四边形AOBD是平行四边形,求证:b2=4c. (2)如图2,若b=﹣2,=,是否存在这样的点A,使四边形AOBD是平行四边形?若存在,求出点A的坐标;若不存在,请说明理由. 4.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣ax2+bx+3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点. (1)求直线AC及抛物线的解析式,并求出D点的坐标; (2)若P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标; (3)若点P是x轴上一个动点,过P作直线1∥AC交抛物线于点Q,试探究:随着P点的运动,在抛物线上是否存在点Q,使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出符合条件的点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 5.如图,在平面直角坐标系中,抛物线交轴于、两点,交轴于点,,抛物线的顶点为,对称轴交轴于点,交于点. (1)求抛物线的解析式; (2)点在第一象限对称轴右侧的抛物线上,连接、,设点的横坐标为,的面积是,求出与之间的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围; (3)在(2)的条件下,射线交直线于第四象限点,点在第四象限,且横坐标是3,点在轴负半轴上,,连接、、、,当四边形是平行四边形时,求的长. 6.已知关于的二次函数(>0)的图象经过点C(0,1),且与轴交于不同的两点A、B,点A的坐标是(1,0). (1)求c的值和,之间的关系式; (2)求的取值范围; (3)该二次函数的图象与直线交于C、D两点,设 A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P,记△PCD的面积为S1,△PAB的面积为S2,当0<<l时,求证:S1-S2为常数,并求出该常数. 7.如图,已知抛物线与轴交于、两点,与轴交于点,其对称轴为直线. (1)直接写出抛物线的解析式; (2)把线段沿轴向右平移,设平移后、的对应点分别为、,当落在抛物线上时,求、的坐标; (3)除(2)中的平行四边形外,在轴和抛物线上是否还分别存在点、,使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出、的坐标;若不存在,请说明理由. 8.如图1,在平面直角坐标系中,直线分别交轴,轴于,两点.点的坐标为,抛物线经过,两点. (1)求抛物线的表达式; (2)如图1,是线段上一点,连接,若的值最小,求点坐标; (3)如图2,在(2)的前提下,直线与直线的交点为,过点作轴的平行线交抛物线于点,若是抛物线上一点,是轴上一点,是否存在以,,,为顶点且为边的平行四边形,若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由. 9.如图所示,抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式. (2)如图,直线BC下方的抛物线上有一点D,过点D作DE⊥BC于点E,作DF平行x轴交直线BC于点F,求△DEF周长的最大值. (3)已知点M是抛物线的顶点,点N是y轴上一点,点Q是坐标平面内一点,若点P是抛物线上一点,且位于抛物线对称轴的右侧,是否存在以点P,M,N,Q为顶点且以PM为边的正方形?若存在,请直接写出点P的横坐标;若不存在,请说明理由. 10.如图,抛物线交x轴于点A(-3,0)和点B,交y轴于点C(0,3). (1)求抛物线的函数表达式; (2)若点Q是线段AC上的一动点,作DQ⊥x轴,交抛物线于点D,求线段DQ长度的最大值. (3)点G是抛物线上的动点,点F在x轴上的动点,若以A,C,F,G四个点为顶点的四边形是平行四边形,求出所有满足条件的点F坐标(直接写出结果). 11.抛物线与轴交于两点,与轴交于,其中,点为抛物线