精品解析：湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题

长郡中学2022年下学期高二期中考试 数学 本试卷共8页，时量120分钟，满分150分 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列中，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 在棱长为1的正方体中，（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 在平面直角坐标系中， 以点(0，1)为圆心且与直线相切的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，，若、、成等差数列，则的公比为（ ） A. B. C. D. 5. 若一个椭圆长轴长和焦距之和为短轴长的两倍，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某圆锥的母线长为2，记其侧面积为S，体积为V，则当取得最大值时，母线与底面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 阿基米德是古希腊著名数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正四面体ABCD中，点N，M分别为和的重心，P为线段CM上一点．（ ） A. 的最小为2 B. 若DP⊥平面ABC，则 C. 若DP⊥平面ABC，则三棱锥P－ABC外接球的表面积为 D. 若F为线段EN的中点，且，则 二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知直线，则（ ） A. 直线过定点 B. 当时， C. 当时， D. 当时，两直线之间的距离为1 10. 若是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是（ ） A. B. C. (为常数) D. 11. “堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓．《九章算术·商功》有如下叙述：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵．其一为阳马，其一为鳖臑”．意思是说：将一个长方体沿对角面斜截（图1），得到一模一样的两个堑堵（图2），再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜截（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）． 若长方体的体积为V，由该长方体斜截所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，则下列选项不正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 已知是抛物线的焦点， 是抛物线上的两点，为坐标原点，则（ ） A. 曲线的准线方程为 B. 若，则的面积为 C. 若，则 D. 若，的中点在的准线上的投影为，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 椭圆与双曲线有公共点P，则P与双曲线两焦点连线构成三角形的周长为_________． 14. 已知，若三向量共面，则实数_____. 15. 在平面直角坐标系中，，，若动点在直线上，圆过、、三点，则圆的面积最小值为_________. 16. 已知数列满足，，则数列的通项公式为_____________，若数列的前项和，则满足不等式的的最小值为_____________． 四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图在边长是2的正方体中，E，F分别为AB，的中点． （1）求异面直线EF与所成角的大小． （2）证明：平面． 18. 已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等. （1）求曲线方程； （2）求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程. 19. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，． （1）求BC边上的中线AD的所在直线方程； （2）求△ABC的外接圆O被直线l：截得的弦长． 20. 已知各项均不为零的数列的前n项的和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足的前n项和为，证明． 21. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，是正三角形，且平面平面，，为棱的中点，四棱锥的体积为． （1）若为棱的中点，求证：平面； （2）在棱上是否存在点，使得平面与平面所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 22. 已知双曲线的离心率为2，F为双曲线的右焦点，直线l过F与双曲线的右支交于两点，且当l垂直于x轴时，； （1）求双曲线的方程； （2）过点F且垂直于l直线与双曲线交于两点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 长郡中学2022年下学期高二期中考试 数学 本试卷共8页，时量120分钟，满分150分