专题28.3 解直角三角形的中考常考题专项训练（50道）-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（人教版）

专题28.3 解直角三角形的中考常考题专项训练（50道） 【人教版】 考卷信息： 本套训练卷共50题，其中选择题15题，填空题15题，解答题20题. 题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了解直角三角形的中考常考题的综合问题的所有类型！ 一、选择题（共15题） 1．（2022·湖北武汉·中考真题）由4个形状相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点A，B，C都在格点上，∠O=60°，则tan∠ABC=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】证明四边形ADBC为菱形，求得∠ABC=30°，利用特殊角的三角函数值即可求解． 【详解】解：连接AD，如图： ∵网格是有一个角60°为菱形， ∴△AOD、△BCE、△BCD、△ACD都是等边三角形， ∴AD= BD= BC= AC， ∴四边形ADBC为菱形，且∠DBC=60°， ∴∠ABD=∠ABC=30°， ∴tan∠ABC= tan30°=． 故选：C． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，特殊角的三角函数值，证明四边形ADBC为菱形是解题的关键． 2．（2022·江苏连云港·中考真题）如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作的延长线于点，由等高三角形的面积性质得到，再证明，解得，分别求得AE、CE长，最后根据的面积公式解题． 【详解】解：过点C作的延长线于点， 与是等高三角形， 设 ， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 3．（2022·浙江宁波·中考真题）如图，在中，于点D，．若E，F分别为，的中点，则的长为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据条件可知△ABD为等腰直角三角形，则BD=AD，△ADC是30°、60°的直角三角形，可求出AC长，再根据中位线定理可知EF=。 【详解】解：因为AD垂直BC， 则△ABD和△ACD都是直角三角形， 又因为 所以AD=， 因为sin∠C=， 所以AC=2， 因为EF为△ABC的中位线， 所以EF==1， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形、锐角三角形函数值、中位线相关知识，根据条件分析利用定理推导，是解决问题的关键． 4．（2022·黑龙江·中考真题）如图，在正方形中，对角线与相交于点，点在的延长线上，连接，点是的中点，连接交于点，连接，若，．则下列结论：①；②；③；④；⑤点D到CF的距离为．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】由题意易得，①由三角形中位线可进行判断；②由△DOC是等腰直角三角形可进行判断；③根据三角函数可进行求解；④根据题意可直接进行求解；⑤过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，然后根据三角函数可进行求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴，则， ∵OF∥BE， ∴△DGF∽△DCE， ∴， ∴，故①正确； ∴点G是CD的中点， ∴OG⊥CD， ∵∠ODC=45°， ∴△DOC是等腰直角三角形， ∴，故②正确； ∵CE=4，CD=8，∠DCE=90°， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∴，故④错误； 过点D作DH⊥CF，交CF的延长线于点H，如图所示： ∵点F是CD的中点， ∴CF=DF， ∴∠CDE=∠DCF， ∴， 设，则， 在Rt△DHC中，， 解得：， ∴，故⑤正确； ∴正确的结论是①②③⑤； 故选C． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握正方形的性质、相似三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键． 5．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则tan∠OBD的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质，可得AD⊥BC，BD=BC=6，再根据角平分线的性质及三角的面积公式得，进而即可求解． 【详解】解：AB＝AC＝10，BC＝12， AD平分∠BAC， ∴AD⊥BC，BD=BC=6， ∴AD=， 过点O作OF⊥AB， ∵BE平分∠ABC， ∴OF=OD， ∵ ∴，即：，解得：OD=3， ∴tan∠OBD=， 故选A． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，锐角三角函数的定义，推出，是解题的关键． 6．（2022·湖北荆州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作交AC的延长线于P．若，则的值是（    ） A． B． C． D．3