专题1.4 解直角三角形的应用中考真题专项训练（50道）-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（北师大版）

专题1.4 解直角三角形的应用中考真题专项训练（50道） 【北师大版】 考卷信息： 本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了解直角三角形的应用中考真题的综合问题的所有类型！ 一．解答题（共50题） 1．（2022·辽宁阜新·中考真题）如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度，在居民楼前方有一斜坡，坡长，斜坡的倾斜角为，．小文在点处测得楼顶端的仰角为，在点处测得楼顶端的仰角为（点，，，在同一平面内）． (1)求，两点的高度差； (2)求居民楼的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】(1)9m (2)24m 【分析】（1）过点作，交的延长线于点，在中，可得，再利用勾股定理可求出，即可得出答案． （2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案． （1） 解：过点作，交的延长线于点， 在中，，， ． ． 答：，两点的高度差为． （2） 过点作于， 由题意可得，， 设， 在中，， 解得， 在中，，， ， 解得， ． 答：居民楼的高度约为． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 2．（2022·山东东营·中考真题）胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”.已知主塔垂直于桥面于点B，其中两条斜拉索与桥面的夹角分别为和，两固定点D、C之间的距离约为，求主塔的高度（结果保留整数，参考数据：） 【答案】主塔的高度约为78m． 【分析】在Rt△ABD中，利用正切的定义求出，然后根据∠C＝45°得出AB＝BC，列方程求出BD，即可解决问题． 【详解】解：∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABD中，， 在Rt△ABC中，∠C＝45°， ∴AB＝BC， ∴， ∴m， ∴AB＝BC＝m， 答：主塔的高度约为78m． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握正切的定义是解题的关键． 3．（2022·河南·中考真题）在中俄“海上联合﹣2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°，位于军舰A正上方1000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°，试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．（结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，1.7） 【答案】潜艇C离开海平面的下潜深度为308米 【分析】过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度，分别在Rt三角形ACD中表示出CD和在Rt三角形BCD中表示出BD，从而利用二者之间的关系列出方程求解． 【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，则AD即为潜艇C的下潜深度， 根据题意得：∠ACD=30°，∠BCD=65°， 设AD=x，则BD=BA+AD=1000+x， 在Rt三角形ACD中，， 在Rt三角形BCD中，BD=CD•tan68°， ∴， 解得：（米）， ∴潜艇C离开海平面的下潜深度为308米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中抽象出直角三角形并选择合适的边角关系求解． 4．（2022·四川资阳·中考真题）小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东方向上，他沿西北方向前进米后到达点D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西方向上，（点A、B、C、D在同一平面内） (1)求点D与点A的距离； (2)求隧道的长度．（结果保留根号） 【答案】(1)点D与点A的距离为300米 (2)隧道的长为米 【分析】（1）根据方位角图，易知，，解即可求解； （2）过点D作于点E．分别解，求出和，即可求出隧道的长 （1） 由题意可知：， 在中， ∴（米） 答：点D与点A的距离为300米． （2） 过点D作于点E． ∵是东西走向 ∴ 在中， ∴ 在中， ∴ ∴（米） 答：隧道的长为米 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角的概念、熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 5．（2022·辽宁朝阳·中考真题）某数学兴趣小组准备测量校园内旗杆顶端到地面的高度（旗杆底端有台阶）．该小组在C处安置测角仪CD，测得旗杆顶端A的仰角为30°，前进8m到达E处，安置测角仪EF，测得旗杆顶端A的仰角为45°（点B，E，C在同一直线上），测角仪支架高CD＝EF＝1.2m，求旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度．（结果精确到1m．参考数据：≈1.7） 【答案】旗杆顶端A到地面的距离即AB的长度约为12m 【分析】延长DF交AB于点G，根据题意可得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，然后设AG＝x