5.2.2 同角三角函数的基本关系-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（湘教版）

5.2　任意角的三角函数 5.2.2　同角三角函数的基本关系 第5章　三角函数 教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及应用． 教学难点：利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式的证明． 核心素养：1.借助同角三角函数的基本关系进行运算培养数学运算素养.2.利用同角三角函数的基本关系式证明恒等式培养逻辑推理素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 知识点一　同角三角函数的基本关系 商 知识点二　同角三角函数的基本关系式的变形形式 (1)平方关系变形 1．对同角三角函数的基本关系的理解 2．利用同角三角函数的基本关系推导出的几个恒等式 (1)(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ. (2)(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ. (3)(sinθ＋cosθ)2＋(sinθ－cosθ)2＝2. (4)(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθcosθ. 上述三角恒等式告诉我们，已知sinθ＋cosθ，sinθ－cosθ，sinθcosθ三个式子中的任何一个式子的值，另两个式子的值均可求出． × × √ × 答案 cos80° 2 核心素养形成 PART TWO 题型一 三角函数求值 解 解 解 解 1．求三角函数值的方法 (1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用的求解方法 (2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用的求解方法 当角θ的范围不确定且涉及开方时，常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论． 解 解 题型二 三角函数式的化简与证明 解 证明 证明 解 1．利用同角三角函数关系化简的常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称，便于约分化简． (2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，去掉根号，为防止出错，去掉根号后首先用绝对值符号表示，然后考虑正负． (3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以便于降幂化简． 2．简单的三角恒等式的证明思路 (1)从一边开始，证明它等于另一边． (2)证明左、右两边等于同一个式子． (3)逐步寻找等式成立的条件，达到由繁到简． 3．条件三角恒等式的证明方法 含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前面，但应注意条件的利用，常用方法有： (1)直推法：从条件直推到结论． (2)代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明． (3)换元法． 解 证明 证明 题型三 sinα±cosα与sinαcosα关系的应用 解 解 解 3 随堂水平达标 PART THREE 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 解 4 课后课时精练 PART FOUR 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 解 解 解 解 解 证明 证明 解 解 解 本课结束 课程标准：理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，eq \f(sinα,cosα)＝tanα. tanα＝eq \f(sinα,cosα) 同角三角函数的基本关系 关系式 语言叙述 平方关系 eq \x(\s\up1(01))__________________ 同一个角α的正弦、余弦的eq \x(\s\up1(02))_________等于1 商数关系 eq \x(\s\up1(03))_________________ 同一个角α的正弦、余弦的eq \x(\s\up1(04))___等于角α的正切 sin2α＋cos2α＝1 平方和 tanαcosα eq \f(sinα,tanα) sin2α＝eq \x(\s\up1(01))__________________，cos2α＝eq \x(\s\up1(02))________________. (2)商的变形 sinα＝eq \x(\s\up1(03))___________________，cosα＝eq \x(\s\up1(04))___________. 1－cos2α 1－sin2α (1)同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)．关系式成立与角的表达形式无关，如sin23α＋cos23α＝1. (2)sin2α是(sinα)2的简写，不能写成sinα2. (3)约定：教材中给出的三角恒等式，除特别注明的情况外，都是指两边都有意义情况下的恒等式． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由于平方关系对任意角都成立，则sin2α＋cos2β＝1也成立．(　　) (2)同角三角函数的基本关系对任意角α都成立．(　　)