3.1.2 函数的单调性-2022-2023学年新教材高中数学必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（人教B版）

3.1　函数的概念与性质 3.1.2　函数的单调性 第1课时　函数的单调性 第三章　函数 课程标准：借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 教学重点：函数单调性的定义及其应用，函数单调性的证明． 教学难点：函数单调性的证明． 核心素养：1.通过学习函数单调性的概念，函数最大值、最小值的概念培养数学抽象素养.2.通过证明函数的单调性以及利用函数的单调性解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养. 1 核心概念掌握 PART ONE f(x1)<f(x2) 单调递增 f(x1)>f(x2) 单调递减 增函数 减函数 单调区间 单调递增区间 单调递减区间 f(x)≤f(x0) x0 f(x)≥f(x0) x0 最值 最值点 4．对最大(小)值定义的理解 (1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使f(x0)等于最值，如f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0. (2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两字不可省． (3)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个． (4)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图像上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图像上最低点的纵坐标． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数在定义域上都具有单调性．(　　) (2)定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么函数f(x)在(a，b)上为增函数．(　　) (3)若函数f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则函数f(x)在区间A∪B上也为减函数．(　　) (4)若函数f(x)在实数集R上是增函数，则有f(1)<f(4)．(　　) (5)任何函数都有最大值或最小值．(　　) × × × √ × 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数f(x)＝x的图像如图1所示， ①从左至右图像是上升的还是下降的？________. ②在区间______________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数？________. 上升的 (－∞，＋∞) 增大 增函数 (2)已知函数f(x)＝－2x＋1的图像如图2所示， ①从左至右图像是上升的还是下降的？________. ②在区间______________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数？________. (3)函数y＝－x2的单调递增区间为__________，单调递减区间为___________. (4)函数f(x)＝x2在[0,1]上的最大值是________. 下降的 (－∞，＋∞) 减小 减函数 (－∞，0] [0，＋∞) 1 2 核心素养形成 PART TWO 题型一 函数单调性的判断与证明 证明 证明 [条件探究]　若把本例(2)中的(－3，＋∞)改为(－∞，－3)，试判断函数f(x)的单调性． 解 函数单调性的判断 判断函数f(x)的单调性通常有定义法和图像法两种．而证明函数的单调性一般要用定义法，其一般步骤如下： (1)设元：设x1，x2为区间上的任意两个变量，且x1<x2； (2)作差：计算f(x1)－f(x2)； (3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)； (4)判号：结合题设判定差的符号； (5)定论：结合单调性的定义下结论． 解 例2　作出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图像，并指出函数的单调区间． 题型二 求函数的单调区间 解 求函数的单调区间 (1)求函数单调区间的常用方法 ①转化为已学的函数(如一次函数，二次函数等)利用其单调性来判断；②图像法；③定义法． (2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域内进行． 解 题型三 利用函数的单调性比较大小 解 利用函数的单调性比较大小 利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上． [跟踪训练3]　若函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是(　　) A．f(a)>f(2a) B．f(a2)<f(a) C．f(a2＋a)<f(a) D．f(a2＋1)<f(a2) 答案 解析　当a<0时，a>2a，因为函数f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f(a)<f(2a)，故A不正确；当