3.1.2 第1课时 函数的单调性-【金版教程】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册创新导学案word（人教B版2019）

数学 必修·第一册［RJB］ 3.1.2　函数的单调性 第1课时　函数的单调性 (教师独具内容) 课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 教学重点：1.函数单调性的定义及其应用.2.函数单调性的证明． 教学难点：函数单调性的证明． 核心素养：1.通过学习函数单调性的概念，函数最大值、最小值的概念培养数学抽象素养.2.通过证明函数的单调性以及利用函数的单调性解决问题培养逻辑推理素养和数学运算素养． 知识点一　增函数与减函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D： (1)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上单调递增)． (2)如果对任意x1，x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上单调递减)． 知识点二　函数的单调性和单调区间 如果一个函数在I上是增函数或是减函数，就说这个函数在I上具有单调性(当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间)． 知识点三　函数的最大值和最小值 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0)，则称f(x)的最大值为f(x0)，而x0称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0)，则称f(x)的最小值为f(x0)，而x0称为f(x)的最小值点．最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点． 1．当函数f(x)在其定义域内的两个区间A，B上都是增(减)函数时，不能说f(x)在A∪B上是增(减)函数，如f(x)＝在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数，不能说f(x)＝在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，事实上，取x1＝－1<1＝x2，有f(－1)＝－1<1＝f(1)，不符合减函数的定义． 2．函数的单调性是函数在某个区间上的性质 (1)这个区间可以是整个定义域． 例如，y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上是增函数，y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上是减函数． (2)这个区间也可以是定义域的真子集． 例如，y＝x2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数． (3)有的函数不具有单调性． 例如，函数y＝它的定义域为R，但不具有单调性． 3．区间端点的写法 对于单独的一点，因为它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点． 例如，y＝x2的单调递增区间是[0，＋∞)，也可以记为(0，＋∞)，但函数y＝在(0，＋∞)上是减函数，就不能写成y＝在[0，＋∞)上为减函数． 4．对最大(小)值定义的理解 (1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x0，使f(x0)等于最值，如f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0. (2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两字不可省． (3)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个． (4)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图象上最低点的纵坐标． 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有函数在定义域上都具有单调性．(　　) (2)定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么函数f(x)在(a，b)上为增函数．(　　) (3)若函数f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则函数f(x)在区间A∪B上也为减函数．(　　) (4)若函数f(x)在实数集R上是增函数，则有f(1)<f(4)．(　　) (5)任何函数都有最大值或最小值．(　　) 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知函数f(x)＝x的图象如图1所示， ①从左至右图象是上升的还是下降的？________． ②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数？________． (2)已知函数f(x)＝－2x＋1的图象如图2所示， ①从左至右图象是上升的还是下降的？__________． ②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数？________． (3)函数y＝－x2的单调递增区间为________，单调递减