3.1.3 函数的奇偶性 第1课时课件-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.3 函数的奇偶性 新授课 3.1 函数的概念与性质 第1课时 1.了解函数奇偶性的概念和几何意义 2.能判断具体函数的奇偶性 新课讲授 学习目标 课堂总结 2 问题1：请写出点(x,y)分别关于y轴、x轴、原点的对称点的坐标. 问题2：填写下表，观察自变量之间的对称关系，并回答当自变量互为相反数时，函数值具备什么关系？ x -3 -2 -1 1 2 3 1 4 9 1 1 1 4 9 当自变量互为相反数时，函数值相等 知识点：函数的奇偶性 新课讲授 学习目标 课堂总结 上述两个函数，当自变量取互为相反数的两个值x和-x时，对应的函数值相等，即 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有-x∈D,且 则称y=f(x)为偶函数. f(-x)=f(x), 自然语言描述：函数f(x)的自变量取互为相反数的两个值时，对应的函数值相等 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：如果y=f(x)是偶函数，其图像具有什么特征呢？ 图像关于y轴对称的函数一定是偶函数. 偶函数的图像关于y轴对称； 偶函数的定义域关于原点对称 新课讲授 学习目标 课堂总结 问题3： 和 在自变量取互为相反数的两个值时,对应的函数值有什么特点？ 当自变量互为相反数时，函数值互为相反数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D,如果对D内的任意一个x,都有 -x∈D, 则称y=f(x)为奇函数. 且f(-x)=-f(x), 新课讲授 学习目标 课堂总结 点P(x,f(x))与Q(-x,f(-x))都是函数y=f(x)图像上的点，如果y=f(x)是奇函数，则点Q又可以写成Q(-x,-f(x)), 反之，结论也成立，即图像关于原点对称的函数一定是奇函数. 因此点P和点Q关于原点对称，所以奇函数的图像关于原点对称； O 1 y 1 x 奇函数的定义域关于原点对称 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：所有函数都具有奇偶性吗？ 如果一个函数是偶函数或是奇函数,则称这个函数具有奇偶性. 一个函数的奇偶性有四种可能： 奇函数 可以看出,当n是正整数时,函数f(x)=x是偶函数,函数g(x)=x2是奇函数. 非奇非偶函数 既奇又偶函数 偶函数 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 判断下列函数是否具有奇偶性： 解：(1)因为函数的定义域为R,所以x∈R时，-x∈R. （1）f(x)=x+x3+x5； （2）f(x)=x2+1； 所以函数f(x)=x+x3+x5是奇函数. 又因为f(-x)=(-x)+(-x)3+(-x)5=-(x+x3+x5)=-f(x)， (2)因为函数的定义域为R,所以x∈R时，-x∈R. 所以函数f(x)=x2+1是偶函数. 又因为f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)， （3）f(x)=x+1； （4）f(x)=x2，x∈[-1,3]. 新课讲授 学习目标 课堂总结 例1 判断下列函数是否具有奇偶性： (3)因为函数的定义域为R,所以x∈R时，-x∈R. （3）f(x)=x+1； （4）f(x)=x2，x∈[-1,3]. 所以函数f(x)=x+1是非奇非偶函数. 又因为f(-1)=0，f(1)=2， (4)因为函数的定义域为[-1,3],而3∈[-1,3]，但-3∉[-1,3], 所以函数f(x)=x2，x∈[-1,3]是非奇非偶函数. 所以f(-1)≠-f(1)且f(-1)≠f(1)， 新课讲授 学习目标 课堂总结 判断函数奇偶性的一般步骤: 1.观察函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，就是非奇非偶函数； 2.如果对称，根据的f(x)表达式计算f(-x)的表达式，然后在观察上述两个表达式关系的基础上做出判断. 总结归纳 新课讲授 学习目标 课堂总结 下列函数具有奇偶性的是(　　) A．f(x)=x-1 B． C．f(x)＝x2 D．f(x)＝x2＋2x＋1 C 练一练 新课讲授 学习目标 课堂总结 思考：（1）函数f(x)和g(x)的定义域相同，且都是偶函数，判断函数f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、f(x)g(x)的奇偶性. （2）函数f(x)和g(x)的定义域相同，且都是奇函数，f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、f(x)g(x)的奇偶性何函数？ （3）函数f(x)和g(x)的定义域相同，且一个是奇函数，一个是偶函数，f(x)g(x)的奇偶性又如何函数？ 新课讲授 学习目标 课堂总结 较复杂的函数奇偶性判断 (1)偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数； (2)奇函数的和、差仍为奇