第一章 1.2 1.2.4 二面角-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（人教B版）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.4　二面角 第一章　空间向量与立体几何 课程标准：1.能用向量语言表述平面与平面的夹角.2.能用向量方法解决平面与平面的夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 教学重点：求二面角的常用方法． 教学难点：1.用向量法求二面角.2.两个平面的法向量的夹角与二面角的关系． 核心素养：1.通过对二面角的有关概念的学习培养数学抽象素养.2.通过求二面角的大小培养直观想象素养、逻辑推理素养及数学运算素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 半平面 二面角 棱 二面角的面 平面角 直二面角 0° 180° 0° 90° 〈n1，n2〉 1．二面角的平面角定义的理解 (1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上． (2)二面角的平面角的两边分别在二面角的两个半平面内． (3)二面角的平面角的两条边与棱垂直，且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关． 2．二面角的求法 (1)定义法． (2)三垂线定理法：A∈β，过A作AB⊥α交平面α于点B，在α内作BO⊥l于点O，连接AO，由三垂线定理知AO⊥l，故∠AOB是二面角α－l－β的平面角，如图． × × × × 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)已知点A(1,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二 面角的余弦值为________. (2)平面α的一个法向量n1＝(1,0,1)，平面β的一个法向量n2＝(－3,1,3)，则α与β所成的角是________. (3)若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________. 90° 120° 2 核心素养形成 PART TWO 例1　如图所示，四边形ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB.求二面角A－VB－C的余弦值． 题型一 利用定义法求二面角 解 二面角的求法 (1)先作出二面角的平面角，方法有：定义法、垂面法、垂线法． (2)证明所作出的角为二面角的平面角． (3)通过解三角形等方法求出这个平面角的大小． 解 例2　已知在三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC.求二面角B－AP－C的余弦值． [解]　解法一：如图，过点B作BE⊥AC于点E，则E为AC的中点，过点E作EF⊥PA于点F，连接BF. 解 题型二 利用三垂线定理或射影面积公式求二面角 解 解 解 (1)三垂线定理法：过二面角的一个半平面内一点作另一个半平面所在平面的垂线，从垂足出发向棱引垂线，利用三垂线定理(线面垂直的性质)即可找到所求二面角的平面角或其补角，如图所示，∠AOB为二面角α－l－β的平面角． 解 解 解 题型三 利用向量法求二面角 解 解 解 解 解 解 解 解 解 解 解 求解探索性问题的基本策略：首先，用参数设出题中的数学对象；其次，构建空间直角坐标系；再次，利用空间向量法把探索性问题转化为求参数是否有解问题；最后，解方程，下结论．利用上述解题策略，可使此类探索性难题变为常规问题． 解 解 解 解 3 随堂水平达标 PART THREE 1．已知二面角α－l－β的大小为60°，b和c是两条异面直线，且b⊥α，c⊥β，则b与c所成角的大小为(　　) A．120° B．90° C．60° D．30° 解析　二面角α－l－β的大小为60°，b和c是两条异面直线，且b⊥α，c⊥β，∴b与c所成角的大小为60°.故选C. 答案 解析 答案 解析 解析 答案 解析 4．若平面α的一个法向量n1＝(1,0，－1)，平面β的一个法向量n2＝(0，－1,1)，则平面α与β所成二面角的大小为________. 答案 解析 解 解 4 课后课时精练 PART FOUR A级：“四基”巩固训练 一、选择题 1．已知二面角α－l－β的平面角为θ，平面α的一个法向量为m，平面β的一个法向量为n，则(　　) A．cosθ＝cos〈m，n〉 B．cosθ＋cos〈m，n〉＝0 C．sinθ＝|cos〈m，n〉| D．sin2θ＋cos2〈m，n〉＝1 答案 解析　∵二面角α－l－β的平面角为θ，∴θ＝〈m，n〉或θ＝π－〈m，n〉，对于A，当θ＝π－〈m，n〉时，cosθ＝cos(π－〈m，n〉)＝－cos〈m，n〉，故A错误；对于B，当θ＝〈m，n〉时，cosθ＝cos〈m，n〉，故B错误；对于C，当θ＝π－〈m，n〉时，sinθ＝sin(π－〈m，n〉)＝sin〈m，n〉，当θ＝〈m，n〉时，sinθ＝sin〈m，n〉，故C错误；对于D，当θ