北京市房山区2022-2023学年高二上学期学业水平调研（期中）考试数学试题

房山区2022—2023学年度第一学期高中学业水平调研 高二数学 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。 (1)已知,则向量的坐标是 (A) (B) (C) (D) (2)已知长方体中,,,,则异面直线与的距离是 (A) (B) (C) (D) (3)已知,且∥,则的值是 (A) (B) (C) (D) (4)如果空间向量不共线,且,那么的值分别是 (A) (B) (C) (D) (5)在正方体中, 分别是线段的中点,则直线与直线的位置关系是 (A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)异面 (6)用、、表示三条不同的直线,表示平面,给出下列命题: ①若∥,∥,则∥;②若⊥,⊥,则⊥; ③若∥,∥,则∥;④若⊥,⊥,则∥. 则正确命题是 (A)①② (B)②③ (C)①④ (D)③④ (7)设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且.则“”是“”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (8)如图,空间四边形中,.点在上,且,为的中点,则 (A) (B) (C) (D) (9)在四面体中,分别是,的中点.若,,,则与所成角的度数是 (A) (B) (C) (D) (10)正方体的棱长为,点分别为线段,上的动点,则下列结论中不正确的是 (A)⊥平面 (B)平面∥平面 (C)点到平面的距离为定值 (D)直线与平面所成角的正弦值为定值 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。 (11)已知空间向量,则_. (12)若向量,,则_. (13)设,分别是空间两直线,的方向向量,则直线,所成角的大小为_. (14)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是_. (15)已知平面和直线,给出条件:①;②;③;④;⑤. (i)当满足条件_时,有;(ii)当满足条件_时,有.(填所选条件的序号) (16)如图,在长方体中,,,点在侧面上.若点到直线和的距离相等,则的最小值是_. 三、解答题:本大题共5小题,每题14分,共70分。 (17)(本小题分) 如图,在四棱锥中,底面是正方形,过的平面与侧棱的交点分别是. (Ⅰ)证明:; (Ⅱ)若底面,求证:平面. (18)(本小题分) 在如图所示的几何体中,正方形与梯形所在平面相交,∥,. (Ⅰ)证明:∥平面; (Ⅱ)若平面,试求异面直线与所成角的余弦值. (19)(本小题分) 如图,矩形中, ,分别在线段和上,∥,将矩形沿折起.记折起后的矩形为,且平面平面. (Ⅰ)求证:; (Ⅱ)若,求证:平面平面. (20)(本小题分) 如图,在四棱锥中,底面为正方形,平面平面,点在线段上,//平面,,. (Ⅰ)求证:为的中点; (Ⅱ)求平面与平面所成角的大小. (21)(本小题分) 如图所示,在正方体中,是棱的中点. (Ⅰ)求直线和平面所成角的正弦值; (Ⅱ)在棱上是否存在一点,使∥平面?证明你的结论. 学科网(北京)股份有限公司 $ 房山区2022—2023学年度第一学期高中学业水平调研 高二数学参考答案 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 （B） （C） （A） （C） （A） （C） （A） （B） （D） （D） 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。 （11） （12） （13） （14） （15）③⑤，②⑤ （16） 三、解答题：本大题共5小题，每题15分，共75分。 解： （17）（Ⅰ）证明：因为底面是正方形， 所以. 又因为平面，平面， 所以平面. 又因为平面， ， 所以. ..........6分 （Ⅱ）证明: 方法1 综合法 因为底面，底面， 所以. 因为底面是正方形， 所以. 因为平面，， 所以平面. ..........14分 方法2：向量法 （Ⅰ）因为底面，底面是正方形， 所以两两垂直. 以为原点，建设如图所示的空间直角坐标系，因为=，则 . 直线的方向向量为，， .