精品解析：广东省汕头市2023届高三上学期期中数学试题

2022-2023学年汕头市高三期中监测试题 数学 第Ⅰ卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选顶中，只有一项符合题目要求． 1. 设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于 A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知M，N都是实数，则“”是“”的（ ）条件． A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 的值为（ ） A. B. C. D. 4. 哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和”，如.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在“2，3，5，7，11”这5个素数中，任取两个不同的素数，其和仍为素数的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代数学的瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如下图所示的“曲池”，其高为3，底面，底面扇环所对的圆心角为，长度为长度的3倍，且线段，则该“曲池”的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，满足为奇函数且为偶函数，则下列结论一定正确的是（ ） A. 函数的周期为 B. 函数的周期为 C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ）. A. 若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为4 B. 回归方程为时，变量与具有负的线性相关关系 C. 随机变量服从正态分布，，则 D. 相关指数来刻画回归的效果，值越大，说明模型的拟合效果越好 10. 对于定义在上的函数，如果存在区间，同时满足下列两个条件：①在区间上为增函数；②当时，函数值域也为，则称是函数的一个“递增黄金区间”．下列函数中存在“递增黄金区间”的是（ ） A B. C. D. 11. 已知函数（）在区间上有且仅有条对称轴，给出下列四个结论，正确的是（    ） A. 在区间上有且仅有个不同的零点 B. 的最小正周期可能是 C. 的取值范围是 D. 在区间上单调递增 12. 在平面直角坐标系中，已知双曲线的离心率为，分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线的右支上位于第一象限的动点，记，的斜率分别为，则（ ） A. 双曲线的焦点到其一条渐近线的距离为1时，双曲线的方程为 B. 双曲线的渐近线方程为 C. 为定值 D. 存在点，使得 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 的展开式中常数项是______． 14. 已知是函数图象上点，则到直线的最小距离为_____________． 15. 如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别交，两边于M，N两点，且，，则的最小值为___________. 16. 如图，正三棱柱的棱长均为2，点M是侧棱的中点，过与平面垂直的平面与侧面的交线为l，则直线l与直线所成角的余弦值为__________． 四、解答题：本题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 的内角的对边分别为，已知的面积 （1）证明：； （2）若，求. 18. 已知数列的前项和是，，点均在斜率为的直线上. 数列、满足. （1）求数列通项、； （2）若数列中去掉数列的项后，余下的项按原来的顺序组成数列，且数列的前项和为，求. 19. 如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面为长方形，且，是的中点，作交于点． （1）证明：平面； （2）若三棱锥体积为，求二面角的余弦值． 20. 新疆棉以绒长､品质好､产量高著称于世.现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客.这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完. （1）通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价成本）； （2）某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售.假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客