专题11 相似三角形中的“K”字型相似模型-2023年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国通用）

专题11 相似三角形中的“K”字型相似模型 【模型展示】 特点 如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD. 结论 CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB. 【模型证明】 解决方案 “三垂直”模型 如图，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. “一线三等角”模型 如图，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 【题型演练】 一、单选题 1．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=8，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若DE=4，则AF的长为（   ） A．    B．4      C．3      D．2 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得AB=CD=6，AD=BC=8，∠BAD=∠D=90°，通过证明△ABF∽△DAE，可得，即可求解． 【详解】解：∵矩形ABCD， ∴∠BAD=∠D=90°，BC=AD=8 ∴∠BAG+∠DAE=90° ∵折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF， ∴BF垂直平分AG ∴∠ABF+∠BAG=90° ∴∠DAE=∠ABF， ∴△ABF∽△DAE ∴即 解之：AF=3． 故答案为：C． 【点评】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握翻折变换和矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 2．如图，边长为10的等边中，点在边上，且，将含30°角的直角三角板（）绕直角顶点旋转，、分别交边、于、．连接，当时，长为（    ） A．6 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】过点作于，根据等边三角形，和含角的直角三角形，易证得 ，从而求得线段，，，，，，的长度，最后在中利用勾股定理可以求得的长度． 【详解】解：过点作于， 在等边中，，， 在中，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵∠A=∠B=60°， ∴，   ∴， ∴在中，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， 已知 ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 而, ∴， ∴， 在中，， ∴， 即． 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形的性