专题08 全等三角形中的角平分线模型-2023年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国通用）

专题08 全等三角形中的角平分线模型 【模型展示】 特点 CＣ O 1. BＢ AAA 1. Ｎ 1. Ｍ 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 结论 三边对应相等的三角戏是全等三角形（SSS）、全等三角形对应角相等1. Ｃ 1. Ｏ 1. Ｂ 【模型证明】 解决方案 角平分线+垂直两边型 角平分线性质定理：角的平分线上的点作角两边垂直段构成的两个RT三角形全等． 【证明】 ∵ OC为∠AOB的角平分线， D为OC上一点DE⊥OA，DF⊥OB ∴ ∴DE=DF 角平分线+垂直角平分线型 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。 角平分线+平行线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。 结论：△POQ 是等腰三角形。 【证明】 ∵PQ∥ON ∴∠PON=∠OPQ 又∵OP 是∠MON 的平分线 ∴∠POQ=∠PON ∴∠POQ=∠OPQ ∴△POQ是等腰三角形 【题型演练】 一、单选题 1．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论：①△ABD≌△EBC②∠BCE+∠BCD=180°③AD=AE=EC ④ BA+BC=2BF其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】易证，可得，AD=EC可得①②正确；再根据角平分线的性质可求得 ，即③正确，根据③可判断④正确； 【详解】∵ BD为∠ABC的角平分线， ∴ ∠ABD=∠CBD， ∴在△ABD和△EBD中，BD=BC，∠ABD=∠CDB，BE=BA， ∴△(SAS)，故①正确； ∵ BD平分∠ABC，BD=BC，BE=BA， ∴ ∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠BCE=∠BDA， ∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°， 故②正确； ∵∠BCE=∠BDA，∠BCE=∠BCD+∠DCE， ∠BDA=∠DAE+∠BEA，∠BCD=∠BEA， ∴∠DCE=∠DAE， ∴△ACE是等腰三角形， ∴AE=EC， ∵△ABD≌△EBC， ∴AD=EC， ∴AD=AE=EC， 故③正确； 作EG⊥BC，垂足为G，如图所示： ∵ E是BD上的点，∴EF=EG， 在△BEG和△BEF中 ∴ △BEG≌△BEF， ∴BG=BF， 在△CEG和△AFE中 ∴△CEG≌△AFE， ∴ AF=CG， ∴BA+BC=BF+FA+BG-CG=BF+BG=2BF， 故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应边、对应角相等的性质是解题的关键； 2．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别是AB、AD上任意的点（不与端点重合），且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．给出如下几个结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG=；③若AF=2DF，则BG=6GF；④CG与BD一定不垂直；⑤∠BGE的大小为定值． 其中正确的结论个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】试题分析：①∵ABCD为菱形，∴AB=AD，∵AB=BD，∴△ABD为等边三角形，∴∠A=∠BDF=60°，又∵AE=DF，AD=BD，∴△AED≌△DFB，故本选项正确； ②∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°，∴∠BGC=∠DGC=60°，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N（如图1），则△CBM≌△CDN（AAS），∴S四边形BCDG=S四边形CMGN，S四边形CMGN=2S△CMG，∵∠CGM=60°，∴GM=CG，CM=CG，∴S四边形CMGN=2S△CMG=2××CG×CG=，故本选项错误； ③过点F作FP∥AE于P点（如图2），∵AF=2FD，∴FP：AE=DF：DA=1：3，∵AE=DF，AB=AD，∴BE=2AE，∴FP：BE=FP：AE=1：6，∵FP∥AE，∴PF∥BE，∴FG：BG=FP：BE=1：6，即BG=6GF，故本选项正确； ④当点E，F分别是AB，AD中点时（如图3），由（1）知，△ABD，△BDC为等边三角形，∵点E，F分别是AB，A