专题13 相似三角形中的母子型相似模型-2023年中考数学难点突破与经典模型精讲练（全国通用）

专题13 相似三角形中的母子型相似模型 【模型展示】 特点 当∠ABD=∠ACB时 △ABD∽△ACB 性质： 其中： ∠A是公共角 AB是公共边 BD与BC是对应边 结论 【模型证明】 解决方案 特殊母子型——射影定理 在Rt△ACB与Rt△ADC中，当∠ABC=∠ACD时，有 Rt△ACB∽Rt△ADC∽Rt△CDB 射影定理： 母子相似证明题一般思路方法： 1　 由线段乘积相等转化成线段比例式相等； 2　 分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形； 3　 第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等； 4　 第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第三步； 【题型演练】 一、单选题 1．如图，在中，是斜边上的高，则图中的相似三角形共有（  ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理及已知即可得到存在的相似三角形． 【详解】∵∠ACB＝90°，CD⊥AB ∴△ABC∽△ACD，△ACD∽△CBD，△ABC∽△CBD 所以有三对相似三角形， 故选：C． 【点睛】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似． 2．如图，正方形ABCD中，E、F分别在边CD，AD上，于点G，若BC=4，AF=1，则CE的长为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】过D做于点H，由正方形ABCD的性质，通过证明和计算得到，再通过证明从而求得CE的长． 【详解】如下图，过D做于点H ∴ ∵正方形ABCD ∴ 且 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴   又∵正方形ABCD ∴ ∴ ∵于点G ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵且 ∴ ∴ ∴ 故选：A． 方法二： ∵∠BEC+∠FCD=90°， ∠DFC+∠FCD=90°， ∴∠BEC=∠DFC， 又∵∠CDF=∠BCE, BC=CD, ∴△BCE≌△CDF， ∴CE=DF=4-1=3; 【点睛】本题考察了三角形勾股定理、相似三角形、正方形的知识；求解的关键是熟练掌握正方形、相似三角形的性质，从而完成求解． 3．如图，中，，，，点，分别在，上，，．把绕点旋转，得到，点落在线段上．若点在的平分线上，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明△PQC∽△BAC，再根据相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；连接AD，根据PQAB和点D在∠BAC的平分线上可证∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分别表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9， ∴AC＝＝＝12． ∵＝＝，＝＝， ∴＝． ∵∠C＝∠C， ∴△PQC∽△BAC， ∴∠CPQ＝∠B， ∴PQAB； 连接AD， ∵PQAB， ∴∠ADQ＝∠DAB． ∵点D在∠BAC的平分线上， ∴∠DAQ＝∠DAB， ∴∠ADQ＝∠DAQ， ∴AQ＝DQ． ∵PD＝PC＝3x，QC=4x ∴在Rt△CPQ中，根据勾股定理PQ=5x. ∴DQ＝2x． ∵AQ＝12﹣4x， ∴12﹣4x＝2x，解得x＝2， ∴CP＝3x＝6． 故选C． 【点睛】本题考查几何变换——旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键． 4．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD=4，CD=3．下列结论①∠AED=∠ADC；② ；③AC•BE=12；④3BF=4AC，其中结论正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】①∠AED=90°﹣∠EAD，∠ADC=90°﹣∠DAC，∵∠EAD=∠DAC， ∴∠AED=∠ADC．故本选项正确； ②∵AD平分∠BAC，∴，∴设AB=4x，则AC=3x， 在直角△ABC中，AC2+BC2=AB2，则（3x）2+49=（4x）2， 解得：x=， ∵∠EAD=∠DAC，∠ADE=∠ACD=90°， ∴△ADE∽△ACD，得DE：DA=DC：AC=3：，故不正确； ③由①知∠AED=∠ADC， ∴∠BED=∠BDA， 又∵∠DBE=∠ABD， ∴△BED∽△BDA， ∴DE：DA=BE：BD，由②知DE：DA=DC：AC， ∴BE：BD=DC：AC， ∴AC•BE=BD•DC=12． 故本选项正确； ④连接DM