6.2.1 空间向量基本定理（学案）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

XINKECHENG XUEAN|第6章空间向量与立体几何 ○强化拓广探索 :4.在正方体ABCD-A1B,CD1中，点M和N分 3.在棱长为2的正四面体ABCD中，点M满足 别是矩形ABCD和BB,CC的中心，若点P AM=xAB+yAC-(.x+y-1)AD,点N满 满足DP=DA+xAM+yAN,其中x,y∈R, 足BN=ABA+(1-A)BC,当AM,BN最短 则点P可以是正方体表面上的点 时，AM·M= (答案不唯一) A.-3 B c.-3 D.3 课下请完成“四翼”检测评价（三） 6.2.1空间向量基本定理 明学习目标 知结构体系 课标 1.了解空间向量基本定理及其意义. 定理 要求 2.掌握空间向量的正交分解。 空问向量 正交基底与单位正交基底 重点 重点：空间向量基本定理， 基本定理 难点 难点：选择恰当的基底表示向量 推论 [如别学内1 落实必备知识 1.空间向量基本定理 即时小练/老你学通 如果三个向量e1,e2,e不共面，那么对空间 1.判断正误 空间向量 任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y, (1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一 基本定理 x),使p= 个基底 () (2)若{a,b,c}为空间的一个基底，则{一a,b,2c}也可 如果三个向量e1,e2,e不共面，那么空间的 构成空间的一个基底 () 基底和基每一个向量都可由向量e1,e2,e 彩 (3)若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基 向量 示，我们把 称为空间的一个基 底，则a,b,c共面. () 底， 叫作基向量 (4)对于三个不共面向量a1,a2,a3,不存在实数组 {入1入2入g}使0=入1a1+入2a2十入3a3· () 2.正交基底和单位正交基底 2.在长方体ABCD-A1B,C,D,中，可以作为空间向量 正交如果空间一个基底的三个基向量 的一个基底的是 () 基底那么这个基底叫作正交基底 A.AB,AC,AD B.AB.AAAB 单位当一个正交基底的三个基向量都是 正交时，称这个基底为单位正交基底，通常用 C.DA,D C,DD 基底表示 D.AC.A C.CC 3.已知向量{a,b,c}是空间的一个基底，p=a十b,q 3.推论 a-一b,一定可以与向量p,q构成空间的另一个基底 设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任 的是 () 意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,之)，使： A.a B.b 得 C.c D.无法确定 了11 SJ数学选择性必修第二册|XINKECHENG XUEAN 知y为器2 强化关键能力 [题点一] [题点二] 对基底的理解 用基底表示向量 典例]已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底， [典例]如图，在四面体 H.OA=e:+2e2-es,OB=-3e +e:+2es,OC OABC中，M是OA的中点，G是 =e1十e2一e3,试判断{OA,OB,O}能否作为空 △ABC的重心，试用基向量OA, 间的一个基底. 赢在微“点”]- OB,OC表示向量OG和MG 利定三个阀童 [听课记录] 不片和 赢在微“点”：剂刊闷量的特法这算以发三衡号的重心 和中位我快质，将目称何量刷飞知何量表六即可 [听课记录] -[方法技巧] 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实 质是判断这三个向量是否共面，若不共面，则可以作 为一个基底 (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行 六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的 三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向 量进行相关的判断 [对点训练] 1.设x=a+b,y=b十c,z=c十a,且{a,b,c}是空 间的一个基底，给出下列向量组：①{a,b,x}; ②{b,c,z};③{x,y,a十b十c.其中可以作为 空间的一个基底的向量组有 A.1个 B.2个 C.3个 D.0个 2.若{a,b,c}是空间的一个基底.试判断{a+b, b十c,c十a}能否作为该空间的一个基底. [方法技巧]用基底表示向量的步骤 根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空 定基底 间的一个基底 用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需 找目标 要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相 等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最 后求出结果 利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出 下结论空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有 a,b,c,不能含有其他形式的向量 12 XINKECHENG XUEAN第6章空间向量与立体几何| [对点训练] [方法技巧] 如图，已知四棱锥P-ABCD, 基向量的选择和使用方法 四边形ABCD为平行四边形， 用已知向量表示未知向量时，选择一个恰当的基 底可以使解题过程简便易行，选择和使