专题08 平面向量及其应用必考题型（真题、自招、模拟）分类训练-【高频考点解密】2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（上海高考专用）

专题08平面向量及其应用必考题型分类训练 【三年高考真题练】 一．选择题（共1小题） 1．（2021•上海）在△ABC中，D为BC中点，E为AD中点，则以下结论：①存在△ABC，使得＝0；②存在△ABC，使得∥（+）；它们的成立情况是（　　） A．①成立，②成立 B．①成立，②不成立 C．①不成立，②成立 D．①不成立，②不成立 【分析】设A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y），由向量数量的坐标运算即可判断①；F为AB中点，可得（+）＝2，由D为BC中点，可得CF与AD的交点即为重心G，从而可判断② 【解答】解：不妨设A（2x，2y），B（﹣1，0），C（1，0），D（0，0），E（x，y）， ①＝（﹣1﹣2x，﹣2y），＝（x﹣1，y）， 若＝0，则﹣（1+2x）（x﹣1）﹣2y2＝0，即﹣（1+2x）（x﹣1）＝2y2， 满足条件的（x，y）存在，例如（0，），满足上式，所以①成立； ②F为AB中点，（+）＝2，CF与AD的交点即为重心G， 因为G为AD的三等分点，E为AD中点， 所以与不共线，即②不成立． 故选：B． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的运算，共线向量的判断，属于中档题． 二．填空题（共7小题） 2．（2021•上海）如图正方形ABCD的边长为3，求•＝　9　． 【分析】根据，直接求解即可． 【解答】解：由数量积的定义，可得， 因为，所以 ＝9． 故答案为：9． 【点评】本题主要考查平面向量数量积的定义与计算，属于基础题． 3．（2022•上海）已知在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3，则△ABC的外接圆半径为 　　． 【分析】直接利用正弦定理和余弦定理求出结果． 【解答】解：在△ABC中，∠A＝，AB＝2，AC＝3， 利用余弦定理BC2＝AC2+AB2﹣2AB•AC•cosA，整理得BC＝， 所以，解得R＝． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 4．（2020•上海）三角形ABC中，D是BC中点，AB＝2，BC＝3，AC＝4，则＝　　． 【分析】根据余弦定理即可求出，并得出，然后进行数量积的运算即可． 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝2，BC＝3，AC＝4， ∴由余弦定理得，＝， ∴，且D是BC的中点， ∴ ＝ ＝ ＝． 故答案为：． 【点评】本题考查了余弦定理，向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，考查了计算能力，属于基础题． 5．（2022•上海）若平面向量||＝||＝||＝λ，且满足•＝0，•＝2，•＝1，则λ＝　　． 【分析】利用平面向量的数量积进行分析，即可得出结果． 【解答】解：由题意，有•＝0，则，设＜＞＝θ， ⇒ 则得，tanθ＝， 由同角三角函数的基本关系得：cosθ＝， 则＝||||cosθ＝＝2， λ2＝， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查平面向量的数量积，考查学生的运算能力，属于中档题． 6．（2022•上海）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点M为边AB的中点，点P在边BC上，则•的最小值为 　﹣　． 【分析】建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求出•＝2x2﹣3x，再利用二次函数求最值即可． 【解答】解：建立平面直角坐标系如下， 则B（2，0），C（0，2），M（1，0）， 直线BC的方程为+＝1，即x+y＝2， 点P在直线上，设P（x，2﹣x）， ∴＝（x﹣1，2﹣x），＝（x，﹣x）， ∴•＝x（x﹣1）﹣x（2﹣x）＝2x2﹣3x＝2﹣≥﹣， ∴•的最小值为﹣． 故答案为：﹣． 【点评】本题考查了数量积的坐标运算，考查了二次函数求最值，属于中档题． 7．（2020•上海）已知，，，，…，（k∈N*）是平面内两两互不相等的向量，满足||＝1，且|﹣|∈{1，2}（其中i＝1，2，j＝1，2，…，k），则k的最大值是　6　． 【分析】设，，结合向量的模等于1和2画出图形，由圆的交点个数即可求得k的最大值． 【解答】解：如图，设，， 由||＝1，且|﹣|∈{1，2}， 分别以A1，A2为圆心，以1和2为半径画圆，其中任意两圆的公共点共有6个． 故满足条件的k的最大值为6． 故答案为：6． 【点评】本题考查两向量的线性运算，考查向量模的求法，正确理解题意是关键，是中档题． 8．（2020•上海）已知A1、A2、A3、A4、A5五个点，满足＝0（n＝1，2，3），||•||＝n+1（n＝1，2，3），则||的最小值为　　． 【分析】可设，从而据题意可得出，，并设A1（0，0），根据是求的最小值，从而可得出，从而可求出，从而根据基本不等式即可求出的最小值． 【解答】解：设，则，， 设A1（0，0），如图，