5.1导数的概念及其意义（精讲）-【精讲精练】2022-2023学年高二数学上学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第二册）

5.1导数的概念及其意义（精讲） 目录 第一部分：思维导图（总览全局） 第二部分：知识点精准记忆 第三部分：课前自我评估测试 第四部分：典 型 例 题 剖 析 重点题型一：求物体运动的平均速度及瞬时速度 角度1：平均速度 角度2：瞬时速度 重点题型二：求解曲线在某点处的切线斜率 重点题型三：函数的平均变化率和瞬时变化率 重点题型四：导数定义的理解与应用 重点题型五：导数几何意义的应用 角度1：求切线方程（在型，过型） 角度2：根据切线斜率求切点坐标 第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局 第二部分：知 识 点 精 准 记 忆 知识点一：函数的平均变化率 1、定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平均变化率，若设,则平均变化率为 2、求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即. 3、平均变化率的几何意义 平均变化率如图：表示直线的斜率。 知识点二：函数在处的导数（瞬时变化率） 1、定义：函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 2、定义法求导数步骤： 1 求函数的增量：； 2 求平均变化率：； 3 求极限，得导数：. 知识点三：导数的几何意义 如图,在曲线上任取一点,如果当点沿着曲线无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.则割线的斜率 知识点四：曲线的切线问题 1、在型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：函数在或者处的切线方程. 步骤：第一步：计算切点的纵坐标（方法：把代入原函数中），切点. 第二步：计算切线斜率. 第三步：计算切线方程.切线过切点，切线斜率。 根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 2、过型求切线方程 已知：函数的解析式.计算：过点（无论该点是否在上）的切线方程. 步骤：第一步：设切点 第二步：计算切线斜率；计算切线斜率； 第三步：令：，解出，代入求斜率 第三步：计算切线方程.根据直线的点斜式方程得到切线方程：. 第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试 1．（2022·全国·高二课时练习）某物体的运动路程（单位：）与时间（单位：）的关系可用函数表示，则该物体在s时的瞬时速度为（       ） A．0m/s B．1m/s C．2m/s D．3m/s 2．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，若，则__________. 3．（2022·全国·高二课时练习）已知函数，其中，此函数在区间上的平均变化率为，则实数m的值为__________． 4．（2022·河南·郑州四中高三阶段练习（文））如图，已知直线l是曲线在处的切线，则的值为___________． 5．（2022·全国·高二单元测试）试求过点且与曲线相切的直线的斜率． 第四部分：典 型 例 题 剖 析 重点题型一：求物体运动的平均速度及瞬时速度 角度1：平均速度 典型例题 例题1．（2022·全国·高二课时练习）某物体沿水平方向运动，其前进距离（米）与时间（秒）的关系为，则该物体在运动前2秒的平均速度为（       ） A．18米/秒 B．13米/秒 C．9米/秒 D．米/秒 例题2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高二期末（理））一个物体做直线运动，位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，且这一物体在这段时间内的平均速度为，则实数的值为（       ） A．2 B．1 C． D． 例题3．（2022·全国·高二课时练习）一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离(单位：)与时间(单位：s)之间的函数关系为，则： （1）前内球的平均速度为________m/s； （2）在这段时间内球的平均速度为________m/s. 同类题型归类练 1．（2022·全国·高二课时练习）汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（       ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·高二期末）已知自由落体的物体的运动方程为，求： (1)物体在到这段时间内的平均速度； 角度2：瞬时速度 典型例题 例题1．（2022·西藏·拉萨中学高二阶段练习（理））某物体做直线运动，其运动规律是（时间的单位：，位移的单位：），则它在4s末的瞬时速度为（       ）. A．m/s B．m/s C．m/s D．m/s 例题2．（2022·湖南·高二课时练习）将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热.如果在第时，原油的温度（单位：℃）为.计算第2 h和第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 例题3．（2022·江苏·高二课时练习）已知函数． (1)函数在区间，，上的平均变化率各是多少？ (2)函数在处的瞬时变化率是多少？ 同类题型归