专题09 利用函数思想求圆锥曲线中的最值与范围问题-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线

专题9 利用函数思想求圆锥曲线中的最值与范围问题 一、考情分析 与圆锥曲线有关的范围、最值问题,在高考中常以解答题形式考查,且难度较大,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐.解题时要紧紧抓住圆锥曲线的定义与性质进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,其中把问题转化为函数求最值与值域是最常用的方法之一． 二、解题秘籍 (一) 利用函数思想最值与范围问题求解方法与策略 1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围； (2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围； (4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围； (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围． 2.利用函数思想求圆锥曲线中的最值或范围,首先要把待求量用某个（些）量来表示,然后把待求量看作关于这个量的函数,再结合函数性质求最值与范围,其中利用二次函数配方求最值是最常用的方法,有时也可利用导数研究函数单调性求最值. 【例1】（2023届四川省成都市高三上学期10月月考）已知点是抛物线与椭圆的公共焦点,椭圆上的点到点的最大距离为3. (1)求椭圆的方程； (2)过点作的两条切线,记切点分别为,求面积的最大值. 【解析】（1）抛物线的焦点为,即, 椭圆上的点到点的最大距离为,所以,, 所以椭圆方程为. （2）抛物线的方程为,即, 对该函数求导得, 设点,,, 直线的方程为, 即,即, 同理可知,直线的方程为, 由于点为这两条直线的公共点,则, 所以点,的坐标满足方程, 所以直线的方程为, 联立,可得, 由韦达定理可得,, 所以, 点到直线的距离为, 所以, 因为, 由已知可得, 所以当时,面积的最大值为. 【例2】（2023届新高考高中毕业班“启航”适应性练习）在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线M：．P,Q,R为M上相异的三点,且,与负半轴交于点A,RQ,PQ分别与正半轴交于点B,C,记点． (1)证明：； (2)若B为M的焦点,当最大时,求的值． 【解析】（1）证明：因为,所以直线OP和OQ斜率之积为－1, 设PQ：,且,, 联立,得,且恒成立, 所以,, 记直线OP、OQ的斜率分别为,, 所以,即,所以, 设：,且, 联立,得,且恒成立, 得, 同理设：,得, 所以, 即； （2）因为B为M的焦点,所以,且,, , 又,不妨设,, 则, 记,,则, , 令,则,且在上单调递增,在上单调递减, 且在上单调递增,所以当, 即时,最大,最大． (二) 利用距离公式把距离问题转化为二次函数求最值 与距离或线段长度有关的最值与范围问题通常是把相关距离或线段长度利用距离公式表示成一个变量的函数,若被开放式为二次函数类型,可通过配方求最值与范围. 【例3】（2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考）已知椭圆经过点,且离心率为. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点的直线与椭圆交于,两点,设坐标原点为,线段的中点为,求的最大值. 【解析】（1）椭圆经过点,其离心率为． ,,,, 故椭圆的方程为：； （2）当直线斜率不存在时,M与O重合,不合题意, 当直线斜率存在时,设,,, 则有,,直线的斜率为, ,两点在椭圆上,有,, 两式相减,,即, 得,化简得, ,∴当时, 的最大值为 (三)把面积问题转化为二次函数最值问题 该类问题求解的基本思路通常是把面积用另一个量（如点的横坐标、纵坐标,直线的斜率等）,把求面积最值与范围问题转化为求函数最值或值域,若函数式可转化为二次函数类型,可利用二次函数性质求最值. 【例4】已知椭圆经过点,其右焦点为. (1)求椭圆的离心率； (2)若点在椭圆上,右顶点为,且满足直线与的斜率之积为.求面积的最大值. 【解析】（1）依题可得,,解得, 所以椭圆的方程为. 所以离心率. （2）易知直线与的斜率同号,所以直线不垂直于轴, 故可设, 由可得,, 所以, ,而,即, 化简可得, , 化简得, 所以或, 所以直线或, 因为直线不经过点, 所以直线经过定点. 设定点 , 因为,所以, 设, 所以, 当且仅当即时取等号,即面积的最大值为. (四) 与斜率有关的最值与范围问题 与斜率有关的最值与范围问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率,然后利用函数知识求解,二是设出直线的点斜式或斜截式方程,利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式,再利用函数思想求解. 【例5】已知椭圆,过点作椭圆的两条切线,且两切线垂直. (1)求； (2)已知点,若存在