专题08 利用均值不等式求圆锥曲线中的最值-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线

专题8 利用均值不等式求圆锥曲线中的最值 一、考情分析 与圆锥曲线有关的最值问题,在高考中常以解答题形式考查，且难度较大，它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐，其中利用均值不等式求圆锥曲线中的最值是一类常见问题，求解时常涉及函数与方程、化归转化等数学思想． 二、解题秘籍 (一) 利用均值不等式求圆锥曲线中最值的方法与策略 利用均值不等式求圆锥曲线中的最值，一是直接根据圆锥曲线中的和（积）为定值的性质求积（和）的最大（小）值，如根据椭圆中为定值，可求的最大值，二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用基本不等式求最值，求解这类问题的核心是建立参数之间的等量关系. 【例1】（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆：，，是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，点在椭圆外，且． (1)求椭圆的方程； (2)若，点为椭圆上横坐标大于1的一点，过点的直线与椭圆有且仅有一个交点，并与直线，交于M，N两点，为坐标原点，记，的面积分别为，，求的最小值． 【解析】（1）因为点在椭圆上，所以，① 因为点在椭圆外，且，所以，即，② 由①②解得，， 故椭圆的方程为． （2）设点，，设直线：， 由椭圆性质以及点的横坐标大于1可知，， 将直线代入方程并化简可得，， 即， 因为直线与椭圆有且仅有一个交点， 所以，即． 直线的方程为：；直线的方程为：， 联立方程得，同理得， 所以， 所以，， 所以 ， 令，则， 当且仅当，即时，不等式取等号， 故当时，取得最小值． 【例2】已知椭圆：的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于A，两点，为坐标原点，求面积的最大值. 【解析】（1），， 由椭圆过点得，解得，， ∴椭圆的方程为. （2）直线被圆截得的弦长为，则圆心到直线l的距离d满足，解得， 当的斜率存在时，设：，，，圆心为原点 则有，∴. 将方程代入椭圆方程中整理得：， ∴，， ， ∴，当且仅当，即时取等号. 当的斜率不存在时，则：，过椭圆的左、右顶点，此时直线与椭圆只有一个交点，不符合题意. ∴面积的最大值为2. (二) 把距离或长度用单变量表示，然后利用均值不等式求最值. 此类问题通常利用两点间距离或弦长公式，把距离或长度表示成关于直线斜率、截距或点的横坐标（纵坐标）的函数，然后利用均值不等式求最值. 【例3】已知圆C过定点A（0，p）(p＞0)，圆心C在抛物线x2＝2py上运动，若MN为圆C在x轴上截得的弦，设｜AM｜＝m，｜AN｜＝n，∠MAN＝θ. (1)当点C运动时，｜MN｜是否变化？试证明你的结论； (2)求的最大值. 【解析】（1）设，则，故圆的方程 ，令有，故，解得，，故不变化，为定值 （2）由（1）不妨设，故，，故，当且仅当，即时取等号.故的最大值为 (三) 把面积表示为单变量函数，然后利用基本不等式求值 该类问题求解的基本思路是把三角形面积表示成关于直线斜率与截距的函数，然后利用均值不等式求最值. 【例4】（2022届陕西省汉中市高三上学期质量检测）已知椭圆的左，右焦点分别为且经过点. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若斜率为1的直线与椭圆C交于A，B两点，求面积的最大值（O为坐标原点） 【解析】（1）由椭圆的定义， 可知 解得，又. 椭圆C的标准方程为. （2）设直线l的方程为， 联立椭圆方程，得， ，得 设，则， ， 点到直线的距离， . 当且仅当，即时取等号； 面积的最大值为. (四) 把面积用双变量表示，然后利用均值不等式求最值 求解该类问题通常先建立两个变量之间的等量关系，然后利用和或积为定值，借助均值不等式求最值. 【例5】（2022届湖南省长沙市高三上学期11月月考）已知椭圆的离心率为，为椭圆上一点.直线不经过原点，且与椭圆交于两点. （1）求椭圆的方程； （2）求面积的最大值，并求当面积最大时的取值范围. 【解析】（1），. 将代入得， 椭圆方程为. （2）设， 与椭圆联立得：， 所以. 则， 因为，故， 所以 当且仅当时取等号，此时，符合题意. 所以，即面积的最大值为. 当不存在时，设，则，当时取等号. 综上，面积的最大值为1 当面积最大时： 若存在，则此时， 则， 若不存在，则此时. 综上，.． (五)与斜率有关的最值问题 与斜率有关的最值问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率，然后利用函数或不等式知识求解，二是设出直线的点斜式或斜截式方程，利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式或不等式求解. 【例6】（2022届福建省福州第十八中学高三上学期考试）已知抛物线的焦点到准线的距离为2． (1)求的方程； (2)已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值． 【解