专题07 圆锥曲线中的定值问题-学霸养成·2023年高考数学压轴大题必杀技系列之圆锥曲线

专题7 圆锥曲线中的定值问题 一、考情分析 求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题,也是备受高考关注的一类问题,由于它在解题之前不知道定值的结果,因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析,在动点的“变”中寻求定值的“不变”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值,揭开神秘的面纱,这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题,从而找到解决问题的突破口.同时有许多定值问题,通过特殊探索法不但能够确定出定值,还可以为我们提供解题的线索. 二、解题秘籍 (一) 定值问题解题思路与策略 定值问题肯定含有参数, 若要证明一个式子是定值, 则意味着参数是不影响结果的, 也就是说参数在解式子的过程中都可以消掉, 因此解决定值问题的关键是设参数： (1)在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时, 注意横坐标要满足圆锥曲线方程） (2)可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式）, (3)也可能是斜率（这个是最常用的, 但是既然设斜率了, 就要考虑斜率是否存在的情况） 常用的参数就是以上三种, 但是注意我们设参数时要遵循一个原则： 参数越少越好. 因此定值问题的解题思路是： (1)设参数； (2)用参数来表示要求定值的式子； (3)消参数. 2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略 (1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值； (2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得； (3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得． 【例1】（2023届湖湘名校教育联合体高三上学期9月大联考）已知椭圆为右焦点，直线与椭圆C相交于A，B两点，取A点关于x轴的对称点S，设线段与线段的中垂线交于点Q． (1)当时，求； (2)当时，求是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由． 【解析】（1）设，线段的中点M坐标为，联立得消去y可得：，所以 所以，代入直线方程，求得， 因为Q为三条中垂线的交点，所以， 有，直线方程为. 令，所以. 由椭圆可得右焦点，故． （2）设，中点M坐标为． 相减得，. 又Q为的外心，故， 所以，直线方程为， 令，所以而,所以， ，同理，， ，所以当t变化时，为定值． 【例2】（2023届河南省濮阳市高三上学期测试）已知椭圆：的右焦点为，圆：，过且垂直于轴的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为和. (1)求的方程； (2)过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，，记，的斜率分别为，，直线的斜率为，证明：为定值. 【解析】（1）设椭圆的半焦距为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的弦长分别为，则；过且垂直于轴的直线被圆所截得的弦长分别为，则，又，解得，所以的方程为. （2）设，则.① 设过点与椭圆相切的直线方程为， 联立得， 则， 整理得.② 由题意知，为方程②的两根，由根与系数的关系及①可得. 又因为，所以，所以为定值． (二) 与线段长度有关的定值问题 与线段长度有关的定值问题通常是先引入 参数,利用距离公式或弦长公式得到长度解析式,再对解析式化简,得出结果为定值 【例3】（2023届辽宁省朝阳市高三上学期9月月考）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)点，在双曲线上，直线，与轴分别相交于两点，点在直线上，若坐标原点为线段的中点，，证明：存在定点，使得为定值. 【解析】（1）由题意，双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为. （2）由题意知，直线的的斜率存在，设直线的方程为， 联立方程组，整理得， 则且， 设，则， 直线的方程为， 令，可得，即, 同理可得， 因为为的中点，所以， 即， 可得，即， 所以或， 若，则直线方程为，即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点， 所以为定值， 又由为直角三角形，且为斜边， 所以当为的中点时，. (三)与面积有关的定值问题 与面积有关的定值问题通常是利用面积公式把面积表示成某些变量的表达式,再利用题中条件化简. 【例4】（2023届河南省部分学校高三上学期9月联考）已知椭圆：的左焦点为，上、下顶点分别为，，． (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上有三点，，满足，证明：四边形的面积为定值． 【解析】（1）依题意，又，所以， 所以， 所以椭圆方程为. （2）证明：设，，，因为，所以四边形为平行四边形， 且，所以，即， 又，，所以， 若直线的斜率不存在，与左顶点或右顶点重合， 则，所以， 所以， 若直线的斜率存在，设直线的方程为，代入椭圆方程整理得， 所以，，， 所以 所以， 整理得