专题02 三角形内外角中的模型-2023年中考数学经典几何模型高分突破（全国通用）

专题02 三角形内外角中的模型 小贴士 1. 三角形内角和及内外角性质看似简单，运用却非常灵活，角的计算以及它们之间的相互转换是平面几何的入门钥匙，贯穿与今后整个几何学习的过程中，。 2. 在我们的中考复习中，要通过一题多解，从不同角度去探索问题，以便拓宽自己的数学思维。 3. 再次强调：一题多解，拓宽思维！ 8字等角模型 提供4种基本证明方法,尝试在做题中开阔自己的思路. 如图1-1：∠1=∠2⇒∠A∠D 图1-1 图1-2 图1-3 图1-4 证明： 法一图1-2 （内外角关系）： ∵∠AED是△EAB与△ECD的外角。 ∴∠AED=∠1+∠A=∠2+∠D 又∵∠1=∠2 ∴∠A=∠D 法二 图1-2 （内角和）： ∵∠1+∠3+∠A=180° ∠2+∠4+∠D=180° 又∵∠1=∠2 ∴∠A=∠D 法三：图1-3 隐圆（定弦定角，隐圆必现） ∵∠1=∠2 ∴ABCD四点共圆。 ∴∠A=∠D 法四 图1-4（相似）： ∵∠1=∠2，∠3=∠4 ∴△EAB∼△ECD ∴∠A=∠D A字模型 图2-1 图2-2 图2-3 图2-1 求证： ∠1+∠2=∠A+180° 法一：图1-2 ∠A+（∠3+∠4）=180° ∠1+∠2+（∠3+∠4）=360° ∠1+∠2=∠A+180° 法二：∠A+(∠B+∠C)=180 ∠1+∠2+(∠B+∠C)=360° ∠1+∠2=∠A+180 法三：图2-2 ∵∠1=∠A+∠4 ∠2=∠A+∠3 ∴∠1+∠2=∠A+∠4+∠A+∠3 即：∠1+∠2=∠A+180 飞镖模型 图3-1 图3-2 证明：图3-2 延长DC交AB于点H。 ∵∠1=∠A+∠D ∠BCD=∠1+∠B ∴∠BCD=∠A+∠B+∠D 角平分线与三角形的融合 图4-1 图4-2 如图4-1： 已知：O是∠ABC与∠ACB平分线的交点。 求证：∠BOC=90°+(1/2)∠A 证明思路：图4-2 ∵BO与CO分别平分∠ABC与∠ACB. ∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB ∠1+∠2= (∠ABC+∠ACB) = (180°-∠A) ∵∠BOC=180°-(∠1+∠2) ∴∠BOC=180°- (180°-∠A) 即:∠BOC=90°+∠A 实战训练 一．“8”字模型 1．如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　360　度． 试题分析：根据三角形外角的性质得∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，则这几个角是一个四边形的四个内角，故∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°． 答案详解：解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°． 故答案为：360． 2．如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（　　） A．180° B．90° C．270° D．240° 试题分析：连接CD，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，再由三角形的内角和定理，即可得出五角星的五个角之和． 答案详解：解：连接CD，设BD与CE交于点O， 由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC， 在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°， 即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°， ∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°， 即五角星的五个内角之和为180°． 故选：A． 3．阅读材料，回答下列问题： 【材料提出】 “八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成． 【探索研究】 探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 　∠A+∠B＝∠C+∠D　； 探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 　25°　； 探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 　∠P　． 【模型应用】 应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝　α+β﹣180°　（用含有α和β的代数式表示），∠P＝　　．（用含有α和β的代数式表示） 应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝　　．（用含有α和β的代数式表示） 【拓展延伸】 拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 　∠P　．（用x、y表示∠P） 拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE