专题01 平行专题模型-2023年中考数学经典几何模型高分突破（全国通用）

专题01 平行专题模型 小贴士 1. 能背会一些基本模型，可以为解题提供思路，并提高解题速度。 2. 注重每个模型所蕴含的数学思想，体会辅助线作法的依据，是学好数学的钥匙。 3. 背（默）会基本定理、模型是学好几何的关键。 模型详解 猪蹄模型 模型一：已知：∠B+∠D=∠E，求证：AB//CD. 法一:证明: 如图1-1,过点E作EG//AB ∵EG//AB（辅助线） ∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等） 又∵∠B+∠D=∠BED（已知） ∴∠D=∠BED-∠1=∠2（等式的性质1） ∴EG//CD（内错角相等，两直线平行） ∴AB//CD（平行于同一直线的两直线互相平行） 法二: 延长BE交CD于点F ∵∠1是△EDF的外角 ∴∠1=∠2+∠D 又∵∠B+∠D=∠1（已知） ∴∠2=∠B（等量代换） ∴AB//CD（内错角相等，两直线平行） 图1-1 图1-3 图1-2 法三：如图1-3连接BD ∵∠3+∠4+∠E=180°（三角形内角和是180°） ∠1+∠2=∠E（已知） ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°（等量代换） ∴AB//CD（同旁内角互补，两直线平行） 模型一：已知：AB//CD，求证：∠B+∠D=∠E. 证法与类型一相反.(也可以自己完成证明,再核对.) 证明一：(图2-1)过点E作EG//AB. ∵EG//AB（辅助线）. ∴∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）. ∵EG//AB（辅助线），AB//CD（已知） ∴EG//CD（平行于同一直线的两直线互相平行） ∴∠2=∠D（两直线平行，内错角相等） ∴∠B+∠D=∠1+∠2=∠BED（等式的性质1） 图2-1 图2-3 图2-2 证明二(图2-2)：延长BE交CD于点F. ∵∠1是△EDF的外角 ∴∠1=∠2+∠D 又∵AB//CD（已知） ∴∠2=∠B（两直线平行，内错角相等）. ∴∠B+∠D=∠1（等量代换） 证明三(图2-3)：连接BD. ∵AB//CD（已知）. ∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补） 又∵∠E+∠3+∠4=180°（三角形内角和是180°） ∴∠1+∠2=∠E（等量代换） 锯齿模型 如图3-1,已知,AB∥CD. 求证: ∠BEG+∠GMC=∠B+∠EGM+∠C 图3-2 图3-1 证明过程:如图3-2 分别过点E，G，M，作EF∥AB，GH∥AB，MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥EF∥GH∥MN，（平行同一条直线的两直线平行） ∴∠B＝∠1，∠2＝∠3，∠4=∠5,∠C=∠6， ∴∠1+∠2+∠5+∠C=∠B+∠3+∠4+∠C 即：∠BEG+∠GMC=∠B+∠EGM+∠C； 铅笔头模型 如图:AB∥CD⇒∠A+∠AEC+∠C=360°图4-1 图 4-2 证明:如图4-2 过E作EF∥AB ∵AB∥CD ∴AB∥EF∥CD， 则∠A+∠1＝180°， ∠2+∠C＝180°， ∴∠A+∠AEC+∠C＝360° 多铅笔头模型 a如图5-1: AB∥CD⇒∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠An=(n-1)180° 图 5-1 图5-2 证明：过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，…… ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥FN……∥CD， ∴∠A1+∠1＝180° ∠2+∠3＝180°， ∠4+∠5＝180° ∠An-1+∠An=180° ∠A1+∠A1A2A3+∠A2A3A4+……∠An=(n-1)180° 实战训练 一．猪蹄模型 1．如图，AB∥CD，∠ABM＝30°，∠CDM＝45°，则∠BMD的度数为（　　） A．105° B．90° C．75° D．70° 试题分析：过点M作ME∥AB，从而可得AB∥ME∥CD，则有∠ABM＝∠BME，∠CDM＝∠DME，即可求∠BMD的度数． 答案详解：解：过点M作ME∥AB，如图， ∵AB∥CD， ∴AB∥ME∥CD， ∴∠ABM＝∠BME＝30°，∠CDM＝∠DME＝45°， ∴∠BMD＝∠BME+∠DME＝75°．所以选：C． 2．如图①，已知AB∥CD，CE，BE的交点为E，现作如下操作： 第一次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1；第二次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2；第三次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3…第n次操作，分别作∠ABEn﹣1和∠DCEn﹣1的平分线，交点为En． 如图②，若∠En＝b°，则∠BEC的度数是 　2nb°　． 试题分析：先过E作EF∥AB，根据AB∥CD，得出AB∥EF∥CD，再根据平行线的性质，得出∠B＝∠1，∠C＝∠2，进而得到∠BEC＝∠ABE+∠DCE；先根据∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，运用（1）中的结论，得出∠CE1B＝∠A