专题03 倍长中线-2023年中考数学经典几何模型高分突破（全国通用）

专题03 倍长中线 小贴士 1.任何时候,都需牢记:做题只是提高成绩的一个手段,而不是目的. 2.倍长中线,只是辅助线的一种方法, 是指题目条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中。 3. 倍长中线,提供的是一种解题思路,而不能死记硬背。 4.倍长中线还可以理解为:中点+平行,中心对称,180°旋转…… 三角形 图1-1 图1-2 如图1-1：已知AD是△ABC的中线。 求证：（AB-AC)<AD<（AB+AC) 证明：如图1-2 法一：延长AD到点E，使DE=AD. 又∵CD=BD,∠3=∠4 ∴ △ADB≅△EDC ∴ AB=CE;∠ABC=∠2;∠1=∠E;AB∥CE 在△ACE中， AB-AC<AE<AB+AC 又∵AD=AE ∴（AB-AC)<AD<（AB+AC) 法二：作CE ∥AB,交AD延长线于点E。 则：∠ABC=∠2;∠1=∠E 又 ∵ AD是△ABC的中线。 ∴ BD=CD ∴ △ADB≅△EDC ∴ AD=DE，AB=CE 在△ACE中， AB-AC<AE<AB+AC 又∵AD=AE ∴（AB-AC)<AD<（AB+AC) 中心对称图形 图2-1 图2-2 如图2-1： 已知：点F是▱ABCD边CD的中点,且AF平分∠CAF。 求证： EF⊥AE, AE=AD+CE 证明：延长AF,BC交于点G. ∵ 四边形ABCD是平行四边形. ∴ AD∥BG ∴ ∠1=∠G, ∠ADC=∠FCG 又∵CF=FD ∴ △ADF≅△GCF ∴ AD=CG，AF=GF 又∵∠1=∠2 ∴∠2=∠G ∴AE=CE ∴EF⊥AG ∵EC=CE+CG ∴AE=AD+CE 实战训练 一．中线取值范围 1．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，则BC边上的中线AD的取值范围是（　　） A．0＜AD＜5 B．2＜AD＜3 C．1＜AD＜4 D．3＜AD＜5 试题分析：如图，首先倍长中线AD至E，连接CE，因此可以得到△ABD≌△ECD，这样就有CE＝AB，然后在△ACE中利用三角形的三边的关系即可求解． 答案详解：解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，连接CE， ∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∠ADB＝∠CDE， ∴△ABD≌△ECD， ∴CE＝AB， 在△ACE中，AC﹣CE＜AE＜AC+CE， 而AB＝3，AC＝5， ∴5﹣3＜AE＜5+3， ∴2＜2AD＜8， 即1＜AD＜4． 故选：C． 二．三角形类提升 2．（1）如图1，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，使得AB、AC、2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 　1＜AD＜5　； （2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF．求证：BE+CF＞EF． 试题分析：（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），推出CE＝AB＝4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可． （2）如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE＝CH，再证明EF＝FH，利用三角形的三边关系即可解决问题． 答案详解：（1）解：如图1中， ∵CD＝BD，AD＝DE，∠CDE＝∠ADB， ∴△CDE≌△BDA（SAS）， ∴EC＝AB＝4， ∵6﹣4＜AE＜6+4， ∴2＜2AD＜10， ∴1＜AD＜5， 故答案为1＜AD＜5． （2）证明：如图2中，延长ED到H，使得DH＝DE，连接DH，FH． ∵BD＝DC，∠BDE＝∠CDH，DE＝DH， ∴△BDE≌△CDH（SAS）， ∴BE＝CH， ∵FD⊥EH．DE＝DH， ∴EF＝FH， 在△CFH中，CH+CF＞FH， ∵CH＝BE，FH＝EF， ∴BE+CF＞EF． 3．已知：△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD＝∠ACE＝90°．如图甲，连接DE，设M为DE的中点． （1）说明：MB＝MC； （2）设∠BAD＝∠CAE，固定△ABD，让Rt△ACE绕顶点A在平面内旋转到图乙的位置，试问：MB＝MC是否还能成立？并证明其结论． 试题分析：（1）在AD上取点P，MP∥CE∥BD，再根据平行线分线段成比例定理可得P是BC的中点，再由线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等即可求解； （2）取AD、AE的中点F、G，连接BF、MF、MG、CG，由M是BE的中点可知，线段MG、MF都是△ADE的中位线，根据三角形的中位线定理及平行四边形的判定定理可判断MFAG是平行四边形，可用AD．AE表示出MG．MF的长，再由直角三角形的性质可求出BF的长，再根据∠BAD＝∠CAE通