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数学 选择性必修 第三册(配RJA版)
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(一) 两个计数原理
[注意] 运用两个基本原理解题的关键在于正确区分“分类”与“分步”,分类就是能“一步到位”——任何一类中任何一种方法都能完成整个事件;而分步则只能“局部到位”——任何一步中任一种方法只能完成事件的某一部分.
[典题1] 6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者,每名同学只去1个场馆,甲场馆安排1名,乙场馆安排2名,丙场馆安排3名,则不同的安排方法共有( )
A.120种
B.90种
C.60种
D.30种
[解析] 先从6名同学中选1名安排到甲场馆,有Ceq \o\al(1,6)种选法,再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆,有Ceq \o\al(2,5)种选法,最后将剩下的3名同学安排到丙场馆,有Ceq \o\al(3,3)种选法,由分步乘法计数原理知,共有Ceq \o\al(1,6)·Ceq \o\al(2,5)·Ceq \o\al(3,3)=60种不同的安排方法.故选C.
[答案] C
[典题2] 只用数字2,3组成四位数,且数字2,3至少都出现一次,这样的四位数共有________个.(用数字作答)
[解析] 因为四位数的每个数位上都有两种可能性,其中四个数字全是2或3的情况不合题意,所以适合题意的四位数有24-2=14个.
[答案] 14
(二) 排列与组合
排列、组合是两类特殊的计数求解方式,在计数原理求解中起着举足轻重的作用,解决排列与组合的综合问题要树立先选后排,特殊元素(特殊位置)优先的原则.
角度一 站位问题
[典题3] 6个女同志(其中有一个领唱)和2个男同志,分成两排表演.
(1)每排4人,问共有多少种不同的排法?
(2)领唱站在前排,男同志站在后排,还是每排4人,问有多少种不同的排法?
[解析] (1)法一 要完成这件事,必须分三步:
第一步,先从8人中选4人站在前面,另4人站在后面,这共有Ceq \o\al(4,8)·Ceq \o\al(4,4)=Ceq \o\al(4,8)种不同的排法;
第二步,前面4人进行排列,有Aeq \o\al(4,4)种不同的排法;
第三步,后面4人也进行排列,有Aeq \o\al(4,4)种不同的排法;
三步依次完成,这件事才算完成,故由分步计数原理有N=Ceq \o\al(4,8)Aeq \o\al(4,4)Aeq \o\al(4,4)=40 320种不同的排法.
法二 每排4人,和排成一排的站法一样,故有Aeq \o\al(8,8)=40 320种.
(2)同(1)的方法一,N=Ceq \o\al(3,5)Aeq \o\al(4,4)Aeq \o\al(4,4)=5 760种不同的排法.
角度二 分组分配问题
[典题4] 某校准备组建一个18人的足球队,这18人由高一年级的10个班的同学组成,每个班级至少1人,名额分配方案共有多少种?
[解析] 构造一个如下图的隔板模型,取18枚棋子排成一列,在相邻的每两枚棋子形成的17个间隙中选取9个插入隔板,将18枚棋子分隔成10个区间,第i(1≤i≤10)个区间的棋子数对应第i个班级学生的名额,因此名额分配方案的种数与隔板插入方法数相等,因隔板插入方法数为Ceq \o\al(9,17),故名额分配方案有Ceq \o\al(9,17)=24 310种.
(三) 二项式定理
1.对于二项式系数问题,首