北京市北京师范大学附属实验中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷

2022北京北师大实验中学高二（上）期中 数 学 班级_________ 姓名_________ 学号_________ 成绩_________ 考 生 须 知 1．本试卷共7页，共五道大题，25道小题，答题卡共4页，满分150分，考试时间120分钟 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答 第I卷(共100分) 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分) 1．已知空间向量，，则 A． B． C．1 D．2 2．若直线与垂直，则 A． B．2 C． D． 3．若表示圆的方程，则的取值范围是 A． B． C． D． 4．平行六面体中，设，，，若为的中点，则 A． B． C． D． 5．已知，，则线段上靠近的三等分点的坐标为 A． B． C． D． 6．设直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则下列说法正确的是 ①若，则与所成的角为30°； ②若与所成角为，则； ③若，则平面与所成的角为60°； ④若平面与所成的角为60°，则 A．③ B．①③ C．②④ D．①③④ 7．点关于直线的对称点的坐标为 A． B． C． D． 8．三棱锥中，两两垂直，，，则点到平面的距离为 A． B． C． D． 9．已知点的坐标为，圆与轴交于两点，与轴交于两点，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 C．充分必要条件 10．设为函数图像上的动点，是圆 (其中）上的动点，若最小值为1，则以所有满足条件的点为顶点的多边形的面积为 A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．过点，的直线的倾斜角为_________． 12．若，，为共面向量，则的值为_________． 13．正方体中，分别为棱和的中点，则直线和所成角的余弦值为_________． 14．平面直角坐标系中，已知直线过点，与坐标轴围成的三角形的面积为2，则直线的方程为_________． 15．如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，是等边三角形，平面平面分别为棱的中点，为及其内部的动点，满足平面，给出下列四个结论： ①直线与平面所成角为45°； ②二面角的余弦值为； ③点到平面的距离为定值； ④线段长度的取值范围是 其中所有正确结论的序号是____________ 三、解答题(本大题共3小题，共35分) 16．(本小题满分12分) 已知向量，． (I)若，求； (Ⅱ)求证：对任意，与不垂直； (Ⅲ)若与轴平行，求，的值 17．(本小题满分13分) 如图，四棱锥中，平面，底面四边形为矩形，，，，为中点，为靠近的四等分点． (I)求证：平面； (Ⅱ)求二面角的余弦值： (Ⅲ)求点到平面的距离． 18．(本小题满分10分) 用坐标法解答以下问题 如图，已知矩形中，，，分别为的中点，为延长线上一点，________． 从①②中任选其一，补充在横线中并作答，如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分， ①连接并延长交于点，求证：； ②取上一点，使得，求证：三点共线． 第Ⅱ卷(共50分) 四、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分) 19．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为2km的圆形区域内。已知小岛中心位于轮船正西4km处，陆上的港口位于小岛中心正北3km处，如果轮船沿直线返航，那么它是否有触礁危险？________(填“是”或“否”) 20．已知点，，，直线，若直线与线段有公共点，则的最大值为________；若直线与线段有公共点，则的取值范围是________． 21．已知单位向量，两两夹角均为，则________；的最小值为________． 22．已知四棱锥中，底面四边形是边长为的正方形，，设．记直线与平面所成角为，二面角的大小为．给出下列四个结论： ①若，则； ②若，则； ③； ④ 其中所有正确结论的序号是________． 五、解答题(本大题共3小题，共34分) 23．(本小题满分10分) 平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，半径是1，直线的方程为，点． (I)若与圆相切，求的值； (Ⅱ)若经过点，求直线与圆的交点的坐标； (Ⅲ)若过点的直线截得圆的弦长，求的斜率的取值范围． 24．(本小题满分14分) 如图，直三棱柱中，，，为棱的中点，是的中点． (I)证明：平面； (Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值； (III)棱上是否存在点，使得点在平面内？若存在，求的值；若不存在，说明理由。 25．(本小题满分10分) 对于空间向量，定义，其中表示这三个数的最大值。 (I)已知，． ①写出，写