高中数学必修五《海伦公式探究》

海伦公式探究 背景：海伦公式在数学学习中使用非常广泛，它方便了日常数学学习中三角形的面积计算，使我们只需知道任意三角形的三边长度，就可以用公式求得三角形的面积大小。但是你知道海伦公式的证明方法吗？本次探究，着手海伦公式的证明方法、推广，使同学们能更深刻地记住海伦公式、容易证明，并且合理使用。 过程：海伦公式 证明 三斜求积术 推广 运用 余弦定理 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦－秦九韶公式，传说是古代的叙拉古国王 希伦（Heron,也称海龙）二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考证，这条公式其实是阿基米得所发现，以托希伦二世的名发表（未查证）。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”，它与海伦公式基本一样。 如右图，假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由图下公式求得。 证明Ⅰ： 　　与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同，在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则余弦定理为： ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ 设 则 上式 所以， 证明Ⅱ：我国著名的数学家九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”。 　　秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”，作1作为“隅”，开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p为“隅”，Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜。 定理:若三角形的三条边分别是:大斜、中斜、小斜，则三角形面积为： 原文见<数书九章>卷五第二题: 以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余，半之．同乘于上，以小斜幂并大斜幂，减上．余，四约之为实，开平方，得积． 证明：如 图，a=u+v，b2=h2+u2，c2=h2+v2 所以，u2-v2=b2-c2 (u+v)(u-v)=(b+c)(b-c) a(u-v)=(b+c)(b-c) (u-v)=(b+c)(b-c)/a 因(u+v)=a，所以 又 h2=b2-u2，三角形面积=a．h/2 此即：，　其中c>b>a