4.2.3 对数函数的性质与图像-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第二册)

4.2.3 对数函数的性质与图像 一、对数函数的概念 1、定义：函数（且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． 2、特殊的对数函数 （1）常用对数函数：以10为底的对数函数. （2）自然对数函数：以无理数e为底的对数函数. 二、对数函数的性质与图像 a＞1 0＜a＜1 图像 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 三、对对数函数定义的理解 1、同指数函数一样，对数函数仍然采用形式定义，例如，都不是对数函数，只有（且）才是对数函数。 2、观察图像，注意变化规律 （1）上下比较：在直线的右侧， 时，越大，图像向右越靠近轴， 时，越小，图像向右越靠近轴； （2）左右比较：比较图像与直线的交点，交点的横坐标越大，对应对数函数的底数越大. 题型一 对数函数的概念理解 【例1】下列函数是对数函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由对数函数的定义：形如且的形式， 则函数为对数函数，只有D符合.故选D 【变式1-1】给出下列函数： ①；②；③；④. 其中是对数函数的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【解析】①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x； ③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数，故选:A. 【变式1-2】已知下列函数： ①y＝log(－x)(x＜0)； ②y＝2log4(x－1)(x＞1)； ③y＝ln x(x＞0)； ④，(x＞0，a是常数)． 其中为对数函数的是________(只填序号)． 【答案】③ 【解析】由对数函数的定义知，①②不是对数函数； 对于③，ln x的系数为1，自变量是x，故③是对数函数； 对于④，底数，当时，底数小于0，故④不是对数函数． 故答案为：③ 【变式1-3】下列函数是对数函数的是( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对数函数（且），其中为常数，为自变量． 对于选项A，符合对数函数定义； 对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数； 对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数； 对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数． 题型二 求对数函数的解析式 【例2】若对数函数且）的图象经过点，则实数______. 【答案】2 【解析】将点代入得，解得 故答案为：2. 【变式2-1】若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________. 【答案】-3 【解析】设（且）， 将代入得. 所以，. 【变式2-2】若函数是对数函数，则 . 【答案】5 【解析】根据对数函数的定义有，解得， 故答案为：5． 【变式2-3】已知对数函数，则______． 【答案】2 【解析】由对数函数的定义， 可得，解得． 题型三 对数函数的定义域问题 【例3】函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】要使函数解析式有意义， 需满足解得:.故选：C 【变式3-1】若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域是[1，3]， ∴，解得． 又，且，∴． 故函数的定义域是．故选：C. 【变式3-2】函数的定义域为_________. 【答案】 【解析】由题可知，即，解得或. 故函数的定义域为. 故答案为: . 【变式3-3】函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，，．故选：D． 【变式3-4】若函数的定义域为，则（ ） A．3 B．3 C．1 D．1 【答案】A 【解析】由，得， 由题意可知上式的解集为， 所以为方程的一个根， 所以，得，故选：A 【变式3-5】已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】根据条件可知在R上恒成立， 则，且，解得， 故a的取值范围是. 题型四 对数型函数过定点问题 【例4】函数曲线恒过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 因为对数函数恒过点， 所以函