4.2.1&4.2.2 对数运算与对数运算法则-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第二册)

4.2.1&4.2.2 对数运算与对数运算法则 一、对数的概念 1、定义：一般地，如果（，且），那么数x叫做以a为底N的对数， 记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2、对数的基本性质 ①当，且时，． ②负数和0没有对数，即. ③特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）． 二、常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数 三、对数的运算法则 1、运算法则：,且， （1）； （2）； （3） 2、换底公式 (a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． 3、可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 题型一 对数的定义理解 【例1】(多选)下列说法正确的有（ ） A．零和负数没有对数 B．任何一个指数式都可以化成对数式 C．以为底的对数叫做常用对数 D．以为底的对数叫做自然对数 【答案】ACD 【解析】由对数的定义可知A,C,D正确； 对B，当且时，才能化为对数式.故选：ACD. 【变式1-1】若有意义，则式中x的取值范围为______． 【答案】 【解析】由题意，． 故答案为：． 【变式1-2】在等式中，实数a的取值范围是（ ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【解析】要使有意义，只需： ，解得：或 ∴实数a的取值范围是或故选：B 【变式1-3】若有意义，则实数k的取值范围是______. 【答案】 【解析】若有意义， 则满足，解得. 故答案为： 题型二 对数式与指数式的互化 【例2】（多选）下列指数式与对数式互化正确的一组是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【解析】对于可化为：，A正确， 对于可化为：，B不正确， 对于可化为与，,C不正确， 对于可化为：，D正确，故选：AD． 【变式2-1】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）； （5）；（6）；（7）；（8） 【解析】（1）因为，所以； （2）因为，所以； （3）因为，所以； （4）因为，所以； （5）因为，所以； （6）因为，所以； （7）因为，所以； （8）因为，所以. 【变式2-2】将下列对数式写成指数式： （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）因为，化为指数式为； （2）因为，化为指数式为； （3）因为，化为指数式为； （4）因为，化为指数式为. 【变式2-3】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）由对数定义得； （2）由对数定义得； （3）由对数定义得； （4）由对数定义得． 题型三 解对数方程 【例3】若，则_______. 【答案】 【解析】依题意，所以. 故答案为： 【变式3-1】方程的解是（ ） A．1 B．2 C．e D．3 【答案】D 【解析】∵，∴，∴. 【变式3-2】已知，则的值为____． 【答案】 【解析】由，得，所以， 即，所以，，所以． 【变式3-3】求下列各式中的值： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）125；（2）；（3）；（4） 【解析】（1）因为，所以； （2）因为，所以，解得 （3）因为，所以，所以； （4）因为，所以，所以. 【变式3-4】求下列各式中x的值： （1）logx3＝； （2）log64x＝－； （3）－lne2＝x； （4）； （5）log5[log3(log2x)]＝0. 【答案】（1）9；（2）；（3）－2；（4）3；（5）8. 【解析】（1）由logx3＝，得＝3，所以x＝9. （2）由log64x＝－，得x＝＝＝4－2＝，所以x＝. （3）因为－lne2＝x，所以lne2＝－x，e2＝e－x，于是x＝－2. （4）由，得2x2－4x＋1＝x2－2， 解得x＝1或x＝3，又因为x＝1时，x2－2＝－1<0，舍去； x＝3时，x2－2＝7>0，2x2－4x＋1＝7>0，符合题意． 综上，x＝3. （5）由log5[log3(log2x)]＝0，得log3(log2x)＝1， 所以log2x＝3， 故x＝23，即x＝8. 题型四 利用对数运算法则化简 【例4】下列各等式正确的为（ ） A． B．