4.1.1 实数指数幂及其运算-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第二册)

4.1.1 实数指数幂及其运算 一、n次方根的定义 1、定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且 2、个数： （1）当n是奇数时，，的值仅有一个，记为； （2）当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为； ②时，不存在 二、根式 1、定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． 2、性质：（，且） a； 三、分数指数幂的意义 1、分数指数幂的意义 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 2、分数指数幂的注意事项： （1）分数指数幂是指数概念的又一推广，分数指数幂不可理解为个相乘，它是根式的一种新的写法． 在这样的规定下，根式与分数指数幂是表示相同意义的量，只是形式不同而已． （2）把根式化成分数指数幂的形式时，不要轻易对进行约分． （3）在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 四、无理数指数幂 一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 【注意】（1）对于无理数指数幂，我们只需要了解两点： ①它是一个确定的实数；②它是有理数指数幂无限逼近的结果． （2）定义了无理数指数幂之后，幂的指数就由原来的有理数范围扩充到了实数范围． 五、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 六、条件求值问题的解题思路： 1、将条件中的式子用待求式表示出来，进而代入化简得出结论； 2、当直接代入不易时，可以从总体上把握已知式和所求式的特点，从而巧妙求解，一般先利用平方差、立方和（差）以及完全平方公式对其进行化简，再用整体代入法来求值； 3、适当应用换元法，能使公式的使用更加清晰，过程更简洁。 题型一 根式的概念 【例1】下列等式中成立的个数是（ ） ①（且）； ②（为大于的奇数）； ③（为大于零的偶数）. A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【解析】对于①，当且时，，①对； 对于②，当为大于的奇数时，，②对； 对于③，当为大于零的偶数时，，③对. 故选：D. 【变式1-1】若有意义，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由负分数指数幂的意义可知，， 所以，即，因此的取值范围是．故选：C. 【变式1-2】，则实数a的取值范围_________  【答案】 【解析】由题设得， ， 所以，所以，． 【变式1-3】（多选）下列等式中，不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，， 故A不正确； 对于B， ，故B不正确； 对于C， 中，故C不正确； 对于D， ，故D正确． 故选：ABC 题型二 利用根式的性质化简求值 【例2】写出下列各式的值： （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】；10； 【解析】；；. 故答案为：；10； 【变式2-1】求下列各式的值； （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）= ． （2）原式= 因为，所以， 当，即时， 当，即时，, 所以. 【变式2-2】把代数式中的移到根号内，那么这个代数式等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ，即 ， ， . 故选：A . 【变式2-3】求下列各式的值： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（）； （6）； 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）； （5），因为，所以； （6） 题型三 多重根式的化简 【例3】求值_______． 【答案】4 【解析】. 【变式3-1】化简________. 【答案】6 【解析】. 【变式3-2】化简（ ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【解析】，故选：D． 【变式3-3】化简=_________. 【答案】 【解析】= 因为，所以.所以原式 题型四 根式与分数指数幂的互化 【例4】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】CD 【解析】对于选项A，因为（），而（），故A错误； 对于选项B，因为（），故B错误； 对于选项C，（），故C正确； 对于选项D，（），故D正确．故选:CD 【变式4-1】用有理指数幂的形式表示下列各式（其中）： （1）______； （2）______．