4.1.2 指数函数的性质与图像-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第二册)

4.1.2 指数函数的性质与图像 一、指数函数的概念 1、定义：一般地，函数（且）叫做指数函数， 其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． 2、注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： （1）如果，当 （2）如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． （3）如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 为了避免上述各种情况，所以规定且． 二、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 三、比较指数幂的大小 比较幂的大小的常用方法： （1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断； （2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断； （3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较． 四、简单指数不等式的解法 1、形如的不等式，可借助的单调性求解； 2、形如的不等式，可将化为为底数的指数幂的形式，再借助的单调性求解； 3、形如的不等式，可借助两函数，的图象求解。 题型一 指数函数的概念判断 【例1】在①；②；③；④；⑤中，y是关于x的指数函数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】根据指数函数的定义，知①⑤中的函数是指数函数， ②中底数不是常数，指数不是自变量，所以不是指数函数； ③中的系数是-1，所以不是指数函数； ④中底数-4﹤0，所以不是指数函数.故选：B. 【变式1-1】下列函数中为指数函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据指数函数的定义知，， 可得函数不是指数函数； 函数不是指数函数；函数是指数函数； 函数不是指数函数.故选：C. 【变式1-2】下列函数：①；②；③；④；⑤.其中一定为指数函数的有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】形如且为指数函数， 其解析式需满足①底数为大于0，且不等于1的常数， ②系数为1，③指数为自变量，所以只有②是指数函数， ①③④⑤都不是指数函数，故选：B. 【变式1-3】函数，，，，其中指数函数的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】因为形如的函数称为指数函数， 所以和是指数函数，故选：B． 题型二 利用指数函数的概念求参 【例2】函数是指数函数，则（ ） A．或 B． C． D．且 【答案】C 【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得，故选：C 【变式2-1】函数是指数函数，则有（ ） A．或 B． C． D．，且 【答案】C 【解析】由指数函数的概念得，解得或． 当时，底数是1，不符合题意，舍去； 当时，符合题意.故选：C． 【变式2-2】函数是指数函数，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为是指数函数, 所以,解得: 或 即a的取值范围是. 【变式2-3】已知函数和都是指数函数，则______. 【答案】 【解析】因为函数是指数函数，所以， 由是指数函数，所以， 所以， 题型三 求指数函数的解析式 【例3】若指数函数的图象经过点，求． 【答案】 【解析】设且， 因为函数的图象经过点， 代入可得，解得或(舍去)． 故． 【变式3-1】已知函数是指数函数，且，则________. 【答案】 【解析】设（且）， 则，得，故， 因此，. 【变式3-2】已知是指数函数，若，则___________. 【答案】 【解析】设， 因为，即，解得， 所以，即． 【变式3-3】已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当时，则，所以， 又因为函数是奇函数，所以， 所以当时． 题型四 指数型函数过定点问题 【例4】函数的图象恒过定点（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为指数函数图象向左平移个单位， 再向上平移个单位即可得到函数的图象， 指数函数过定点， 所以函数的图象恒过定点.故选：B 【变式4-1】对任意实数且关于x的函数图象必过定点( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵且，∴1