专题40 圆锥曲线中参数范围与最值问题-2023年新高考数学大一轮复习讲义之方法技巧与题型全归纳（新高考专用）

专题40 圆锥曲线中参数范围与最值问题 【方法技巧与总结】 1、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法． （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法． 2、求参数范围问题的常用方法 构建所求几何量的含参一元函数，形如，并且进一步找到自变量范围，进而求出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有： （1）二次函数；（2）“对勾函数”；（3）反比例函数；（4）分式函数．若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变量的取值范围在或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以从以下几个方面考虑： ①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． ②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系． ③利用基本不等式求出参数的取值范围． ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围． 【题型归纳目录】 题型一：弦长最值问题 题型二：三角形面积最值问题 题型三：四边形面积最值问题 题型四：弦长的取值范围问题 题型五：三角形面积的取值范围问题 题型六：四边形面积的取值范围问题 题型七：向量数量积的取值范围问题 题型八：参数的取值范围 【典例例题】 题型一：弦长最值问题 例1．已知圆的任意一条切线与椭圆都有两个不同的交点，． （1）求圆半径的取值范围； （2）是否存在圆，满足恒成立？若存在，求出圆的方程及的最大值；若不存在，说明理由． 【解析】解：（1）要使圆的任意一条切线与椭圆都有两个不同的交点， 则圆必在椭圆的内部，． （2）设圆的切线方程，由，得． 设，，，，，． ． ，，① 与圆相切，② 由①②得，此时圆的方程为：， 当切线的斜率不存在时，切线方程为 ，或，满足条件 圆的方程为： ， 当直线的斜率不存在或为0时，． ，， 的最大值． 例2．平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6． （1）求椭圆的方程； （2），是抛物线上两点，且，处的切线相互垂直，直线与椭圆相交于，两点，求弦的最大值． 【解析】解：（1）椭圆的离心率为，过椭圆右焦点作两条相互垂直的弦， 当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6， ，解得，， 椭圆方程为． （2）设直线为：，，，，，，，，， 由，得， 则，， 由，得， 故切线，的斜率分别为，， 再由，得， ， 解得，这说明直线过抛物线的焦点， 由，得， ． 当且仅当时取等号， 弦的最大值为3． 例3．设椭圆经过点，且其左焦点坐标为． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）过椭圆的右焦点作两条相互垂直的直线，，其中交椭圆于，，交椭圆于，，求的最小值． 【解析】解：（Ⅰ）椭圆经过点，且其左焦点坐标为， ，，， 椭圆的方程为：．（4分） （Ⅱ）①当直线，中有一条直线的斜率不存在时，．（5分） ②当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程，设，，，， 由，得， ，， ， 设直线的方程为，同理得：， 所以，（9分） 设，则，所以时，有最小值． 综上，的最小值是．（12分） 变式1．已知点在椭圆上，且点到的两焦点的距离之和为． （1）求的方程； （2）设圆上任意一点处的切线交于点，，求的最小值． 【解析】解：（1）由题意可得，且， 解得，， 所以椭圆的方程为； （2）当直线的斜率不存在时，可设切线方程为， 代入椭圆，可得，，，， 则，且； 当直线的斜率存在时，设切线的方程为， 由切线与圆相切，可得， 化为， 由与椭圆方程联立， 可得， 设，，，，则，， ，代入，可得， 即，由， 所以， 而 ， 当时，上式取得等号． 所以的最小值为． 变式2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，焦距为2，点在椭圆上．当线段的中垂线经过时，恰有． （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆相交于、两点，且，是以为直径的圆上任意一点，为坐标原点，求的最大值． 【解析】解：（1）由焦距为2知，连结， 线段的中垂线经过时，， ．．， ，，， 由所以椭圆方程为； （2）①当的斜率不存在时，恰为短轴，此时； ②当的斜率存在时，设．联立，得到， △，，． ，化简得． 又设是弦的中点，，， ，令， 则，（仅当时取等）， 又（仅当时取等号）． 综上，． 题型二：三角形面积最值问题 例4．已知椭圆的离心率是，，分别是椭圆的左、右焦点．以线段为直径的圆的内接正三角形的边长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值． 【解析】解：（1）由题意可知，，，所以，， 所以， 所以椭圆的标准方程为